x-/y-Koordinaten von Punkten auslesen/ Integral-Probleme

AVohns shared this idea 12 years ago
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Hallo,


habe mich mal ein wenig mit GeoGebras Funktionen zur Integralrechnung beschäftigt und muss sagen, dass hier und da einiges intuitiver funktionieren könnte:


1. Wenn ich zwei Funktionen f,g habe, die sich sagen wir mal zweimal in den Punkten A,B schneiden, so fände ich es sehr intuitiv, wenn ich die Fläche zwischen den beiden Schnittpunktenn als: Integral[f,g,A,B] schreiben könnte.

Das geht allerdings nicht, da GeoGebra keine Punkte als Integralgrenzen akzeptiert, sondern nur Zahlen. Ausweg wäre emntweder, dass die Funktion auch Punkte akzeptiert und selbst deren x-Koordinate ausliest, oder:

2. Generell wäre eine Funktion xkoordinate[A] sehr praktisch, die einem die x-Koordinate eine Punktes als Zahlobjekt zur Verfügung stellt. Man kann jetzt sagen, man könnnte die Werte ja auch einfach von Hand auslesen, aber dann hat man Probleme, wenn eine Skizze dynamisch diese Wete verarbeiten soll.

3. Leider bearbeitet Integral[] nur solche Funktionen, die auch als Funktionen definiert sind, also mittels f(x)=... Das ist insofern unschön, als dass Geraden und kegelschnitte, die geometrisch konstruiert wurden von der Funktion Intergral[] nicht als Eingabe akzeptiert werden. Wenn ich nun z.B. gewisse Flächen zwischen Schittpunkten, Achsen und "geometrisch" konstruierten Geraden bestimmen möchte, bleibt mir auch hier nichts anderes übrig, als die zuvor konstruierten Geraden noch einmal von hand als Funktion einzugeben (dann klappt es aber nicht dynamisch) oder ich müsste mit einem Sack voll Hilfslinien arbeiten.


So, genug gemeckert, ich bin trotz allem noch immer sehr beeindruckt von der Funktionsvielfalt des Programms.


Gruß


Andreas

Comments (7)

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Hallo,


zu 1) und 2): Es gibt den Befehl x(A), der die x-Koordinate des Punktes A liefert.

Von daher funktioniert die Schreibweise

Integral[f(x) - g(x), x(A), x(B)] bzw. Integral[f,g, x(A), x(B)]

ganz wunderbar. Da die Integrationsgrenzen Stellen sind, ist diese Schreibweise auch viel treffender als die Punkte einzusetzen.


zu 3) Dass das Integral ausschließlich für Funktionen definiert ist, ist naheliegend. Der problematische Schritt besteht also darin, von der geometrischen Gleichung zu einer Funktionsgleichung, im Allgemeinen wohl eher zu mehreren Teilfunktionen zu gelangen. Das könnte eventuell das interne CAS leisten.


Die Dynamik lässt sich doch auch erhalten bei allgemeiner Umformung der Gleichung, wenn man die Parameter beibehält.

Am Beispiel der Kreisgleichung mit M und r:

k: (x-x(M))^2+(y-y(M)^2)=r^2 als geometrische Gleichung

Oberer Halbkreis als Funktion:

f(x) = (r^2 - (x - x(M)))^0.5 + y(M)


Gruß

Jens

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ad 3) ja, in der Tat ist das eher ein mathematisches Problem als eins von GeoGebra: einen Kegelschnitt kann man halt nicht so ohne weiteres "integrieren" wie eine Funktion.

Auch ueber das "Integral" einer Gerade bin ich nicht so happy, aber wer weisz, was noch alles kommt in GeoGebra ;-)


lg, Markus

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ad 3) ja, in der Tat ist das eher ein mathematisches Problem als eins von GeoGebra: einen Kegelschnitt kann man halt nicht so ohne weiteres "integrieren" wie eine Funktion.

Auch ueber das "Integral" einer Gerade bin ich nicht so happy, aber wer weisz, was noch alles kommt in GeoGebra ;-)


lg, Markus


Ich sehe das Problem, erstmal bin ich sehr froh, dass es eine Funktion x(A) gibt, dass habe ich im Hilfetext wohl einfach nicht gefunden (Ich wusste allerdings auch nicht, unter welchem Unterpunkt ich suchen sollte).


Bei Geraden: Hier ist aufgrund der Geradengleichung im Grunde ja recht klar zu erkennen, ob a x +y b = c eine Funktion darstellt (0*y + 1*x=5 natürlich nicht).


Wenn es im Kontextmenü eine Option gäbe: Gerade in Funktion umwandeln o.ä. wäre das ein möglicher Workaround.


Ich will mal erläutern, wie ich überhaupt auf die Idee gekommen bin:


Wenn man eine Funktion plottet und dann Geraden durch gewisse markante Punkte konstruiert, dann hat man erstmal die naive Erwartung, dass man zwischen diesen beiden Objekten eigentlich per Integral Flächen bestimmen können sollte. Es geht aber leider nicht so ohne Weiteres und das, obwohl die Geradengleichung und Funktionsgleichung als Termdarstellung nahezu identisch aussehen, nur sind eben "geometrisch konstuierte" Geraden und "lineare Funktionen" in GeoGebra unterschiedliche Objekte.

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Geraden und lineare Funktionen sind auch mathematisch unterschiedliche Dinge. Z.b. kann eine Gerade die Gleichung x = 5 haben, das ist dann aber keine Funktion in x.


Ich verstehe schon diesen Wunsch, moechte aber diese Dinge in GeoGebra nicht durcheinander bringen. In der Zunkunft soll es einen Befehl fuer ein Interpolationspolynom geben. Ein solches Polynom durch zwei Punkte entspricht dann der gewuenschten Geraden als Funktion und kann dann integriert werden.


Viele Gruesze,

Markus

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Geraden und lineare Funktionen sind auch mathematisch unterschiedliche Dinge. Z.b. kann eine Gerade die Gleichung x = 5 haben, das ist dann aber keine Funktion in x.


Ist mir schon klar (s. letztes Posting), wobei wir hier schnell in den Bereich der hyperthrophen Sprachverwendung kommen (um mal den Didaktiker raushängen zu lassen): Der Graph einer linearen Funktion ist ja immer eine Gerade, nur sind halt nicht alle Geraden auch Graphen linearer Funktionen. Wenn mir ein Schüler sagt: "f(x)=x+5 ist eine Gerade" ist das vielleicht nicht ganz präzise (Der Graph von f(x)=x+5 ist eine Gerade), aber das ist dann doch sehr spitzfindig.


Ich halte mein Problem auch nicht für soo gewichtig: Man erkennt daran allerdings eins: Das was geometrisch äquivalent ist, kann durchaus unterschiedliche algebraische Darstellungen haben und das dürfte ein Grundproblem der vielgepriesenen "bidirektionalen Verknüpfung von Algebra und Geometrie" darstellen.


Im "Zeichenblatt" sehen die Funktion f(x)=2x+5 und die Gerade y-2x=5 eben erstmal identisch aus und rein intuitiv ist es dann erstmal vewunderlich, dass man bestimmte Befehle auf das eine Objekt anwenden kann und auf das andere nicht (das kleiche gilt für Kegelschnitte in den Fällen, wo sie als quadratische Funktionen oder Hyperbeln darstellbar sind).


Mir ist klar, dass man das informatisch nicht so einfach in den Griff bekommt: Mathematisch gesehen ergeben die Funktion f(x)=2x+5 und die Gerade y-2x=5 allerdings sehr wohl dieselbe Punktmenge des R²...

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Hallo Andreas,


deinen Wunsch kann ich verstehen.


So weit liegen die Gleichung einer Geraden und die Gleichung einer linearen Funktion ja nicht auseinander, wie du schon gezeigt hast.


Die "Geradengleichung" ist die Gleichung einer Relation, die "Funktionsgleichung einer linearen Funktion" die Gleichung einer rechtseindeutigen Relation (wenn man eine statische Sicht auf die Funktion hat, die dynamische/funktionale sei mal nicht berücksichtigt). Die zu beiden Gleichungen gehörenden Graphen (Punktmengen) bezeichnet man als Gerade. (Den Unterschied hast du bereits schön beschrieben.)


Vorschlag:

Du definierst die Gerade mit zwei gezeichneten Punkten. Dann definierst du mit der Zweipunkteform eine Funktion:

f(x) = (y(B) - y(A)) / (x(B) - x(A)) (x - x(A)) + y(A)


Die Funktionsgleichung ist nur dann definiert, wenn die Gerade nicht parallel zur 2. Achse verläuft.

Wenn man möchte, kann man die ursprünglich konstruierte Gerade auch ausblenden.


Schöne Grüße


Göde

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Geraden werden in GeoGebra intern teilweise schon automatisch in lineare Funktionen umgewandelt: so kann man z.B. eine Funktion f(x) mit einer Geraden g schneiden.

Intern werden dabei die Nullstellen der Differenzfunktion f(x)-g(x) berechnet, um den Schnittpunkt zu bekommen.


Auch bei einer Zahl gibt es eine aehnliche Mehrdeutigkeit: sie wird in GeoGebra automatisch an entsprechender Stelle (z.B. beim Integral) in eine konstante Funktion umgewandelt.


Obige Diskussion ist also nur ein Feature Request, dieses Verhalten auch auf Geraden auszudehnen, was ich vielleicht machen werde.


Gruesze,

Markus

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