Wie wird zu einer bekannten Ortslinie die Formel für die entsprechende Kurve in GeoGebra gefunden?

Petrus3743 shared this question 4 years ago
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In Algebra ist z. B. nur angegeben Ortslinie1=Ortslinie[F, C], siehe Dateianlage. Auf der Ortslinie können keine Schnittpunkte generiert werden. Deshalb wäre es, evtl. auch aus anderen Gründen, von Vorteil eine bereits bekannte Ortslinie als Kurve mit der von GeoGebra bestimmten Formel einzugeben. Gruß Petrus3743

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In meiner LaTeX-Formel/Grafik für die explizite Form ist ein Fehler drin, dummerweise kann ich das nicht mehr ändern.

Um weiteren Fragen zuvor zu kommen und um hiermit das Thema für mich abzuschließen anbei eine ausführliche Datei (Fehler sind nicht ausgeschlossen).

over and out

Comments (30)

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Zitat: " Auf der Ortslinie können keine Schnittpunkte generiert werden."

Das geht, indem man die Ortlinie in eine Punkteliste auflöst und diese wiederum in ein Polynom.

Dieses Polynom lässt sich dann mit einer Geraden schneiden.

Für anders geformte Ortslinien lohnt es sich, die anderen Trend.....[] Befehle zu studieren.

.


  1. OLP = Erstes[Ortslinie1, Länge[Ortslinie1]] -> erstellt die Punkte-Liste aus der Ortslinie
  2. OLPP(x) = TrendPoly[OLP, 30] --> erstellt ein Polynom 30sten Grades aus der Ortslinen-Punkte-Liste
  3. F_2 = Schneide[OLPP, j, 1] --> Beispiel für Schneiden Gerade mit Polynom
  4. F_3 = Schneide[OLPP, l, 1]

.

Eine kurze knackige Funktion oder Kurve für Deine Ortslinie kenne ich nicht.

In einfachen Fällen ist GGB in der Lage die Funktions-Gleichung mit "Ortsliniengleichung[]" selbst zu ermitteln in Deinem Applet jedoch nicht (gelegentlich hilft auch ein Umstellen der Konstruktion).

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Servus rami,

mit deinem Vorschlag "Das geht, indem man die Ortlinie in eine Punkteliste ..." hast du mir schon sehr geholfen, danke! Deine Schrittliste ist vorbildlich. Einfach die einzelnen Schritte kopiert und ins Applet eingefügt, schon hat's geklappt! Für die Kurve (Teil einer Lemniskate) versuche ich auch eine Lösung zu bekommen. Wenn es gelingt werde ich dich informieren. Ich wünsche dir noch ein erfolgreiches und gesundes Jahr 2017!

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Vielleicht habe ich etwas falsch gemacht, denn ab ca. Winkel < 60° verschwinden ab und zu die Punkte F_2 und F_3 von der Ortslinie. Was kann die Ursache sein?

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Da stösst einerseits GGB an die Grenzen der Rechenkapazität (Polynom 30-sten Grades) und andererseits bin ich einmal mehr über das leidige Thema Schneide[Funktion...] gestolpert. Da wird mit einem Rekursionsverfahren gearbeitet, das Start- und End-Parameter verlangt, die aber von GGB (für mich nicht nachvollziehbar) gesetzt, aber auch verändert werden (?).

Neuerdings kann man dem ausweichen indem man die Funktion um 0° dreht. Damit kommen die Berechnungs-Algorithmen von "Kurve" zum tragen, die robuster zu sein scheinen.

Dann findet GGB gelegentlich auch 2 Punkte (warum weiss ich nicht wirklich, vermute aber, dass beim 30sten Grad das Polynom im ""Mikrobereich" überschwingt). Deshalb das Schneiden in geschweifter Klammer (was eine Liste aller Schnittpunkte erzeugt), undefinierte Entfernen (sicherheitshalber) und das Erste Element als benanntes Objekt kreieren.

Wenn gar nichts mehr hilft so kann man CAS verwenden, das bezüglich Schneiden wesentlich robuster läuft.

Mit den folgenden Befehlen läuft es bei mir stabil.

Lösche vorab die Objekte, sodass keine alten Abhängigkeiten bestehen.


  1. OLPP(x) = TrendPoly[OLP, 15] <- (ist ja immer noch recht genau)
  2. F_2 = Element[EntferneUndefiniert[{Schneide[j, Drehe[OLPP, 0]]}], 1]
  3. F_3 = Element[EntferneUndefiniert[{Schneide[l, Drehe[OLPP, 0]]}], 1]

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Ich habe die Datei wie folgt überarbeitet:


  1. OLP = Erstes[Ortslinie1, Länge[Ortslinie1]]
  2. OLPP(x) = TrendPoly[OLP, 15]
  3. Ortslinie1 ohne Anzeige
  4. OLP ohne Anzeige
  5. neuer Punkt C beliebig bestimmt
  6. neue Strecke q, neuer Winkel a, Text1 geändert, a_3 geändert, Text6,
  7. F = Element[EntferneUndefiniert[{Schneide[q, Drehe[OLPP, 0]]}], 1] -> neuer Punkt F auf q
  8. Strahl r durch F
  9. Strecke t durch F -> ergibt D
  10. D mit M verbunden
  11. Ergebnis: Winkel β stimmt nicht mit Winkel α/3 überein

Ich wollte überprüfen ob die Kurve "TrendPoly[OLP, 15]" stetig auf der Ortslinie liegt. Man kann gut erkennen die Kurve "TrendPoly[OLP, 15]" ist (so wie zuerst die TrendPoly[OLP, 30]) auf der rechten Seite nicht gleichförmig. War meine Überpüfung zweckdienlich oder führt sie zu einer falschen Aussage?

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Es bestätigt, dass die Ortlinie und/oder das davon abgeleitete Polynom eine Näherung ist, die je nach Situation auch grössere Abweichungen (zB grosse Steigung, kleine Schmiegekreise) beinhalten kann.


Interessant wäre noch die Abweichung zur Kurve von Loco. Diese Abweichung müsste annähernd 0 sein.

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Wie aus der ersten Version der Datei (in meiner Fragestellung) erkennbar, ist die Ortslinie die exakte Linie, (Winkel α/3 ist genau). Das (momentane) verzwickte Problem ist nur diese Ortslinie als Formel zu beschreiben, siehe angehängte Datei in meiner Antwort an Loco ...

Hierzu siehe auch Datei die auch in Wikimedia Commons eingearbeitet ist, darin glaubte ich noch irrtümlich die Kurve wäre eine "Viertel-Lemniskate".

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Bei Deinen Erkundungen: schau mal da hinein. Möglicherweise kommen auch andere Kurven in Frage.

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Das ging aber schnell, danke für diesen Tipp! Eine richtige Fundgrube zu Kurven ist das, zusammengestellt von Frau Prof. Haftendorn. Auf Anhieb habe ich darin die "Trisektrix Konstruktion" gefunden, die dieses Thema behandelt. Servus ...

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Falls noch benötigt:

Deine Ortslinie kann wie folgt definiert werden:

gif

  1. Kurve[ x(M) + x(B-M)/2/cos(t/3) cos(t),y(M) + x(B-M)/2/cos(t/3) sin(t), t, 0, pi]

Diese Funktion kann aus der Überlegung Dreieck AMC = gleichschenklig, Dreieck MFC = gleichschenklig und Winkel beta = 1/3 Winkel alpha gewonnen werden.

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Servus Loco,

vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe die Datei

überarbeitet und diese Kurve eingearbeitet. Wie du sehen kannst, gibt es

eine geringe Abweichung gegenüber der Ortslinie. Kann man die Formel

noch mehr an die Ortslinie angleichen?

Hierzu siehe auch Datei die auch in Wikimedia Commons eingearbeitet ist.

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Mein Test ergibt, dass die Abweichung zwischen Punkt D und der Kurve b (von Loco)

kleiner 0.0000001 ist (Abstand[b, D]). Also ist die Ortslinie (erwartungsgemäss, weil immer eine Annäherung) vom Punkt D abweichend. Es macht keinen Sinn die Kurve b der Ortslinie anzupassen, dann könntest Du ja gleich die Ortslinie Verwenden.

Der Sinn der Kurve b besteht darin, die Ortslinie (und das davon abgeleitete Polynom) ersatzlos zu streichen, weil die Kurve b den genausten Wert liefert (möglicherweise noch genauer als die Koordinaten des Punktes D, weil diese um 7 Ecken herum gerechnet werden müssen, wärend der mathematische Ausdruck ohne Umwege gerechnet werden kann)

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Danke rami.

Das "nein" bei alpha = pi ist vermutlich ein Bug/Fehler. Ist aber logischerweise ein "ja".

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Interessant die folgenden Ergänzungen in Deinem File.


Ich kann dazu keine vernünftige These aufstellen

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Eigentlich müsste rein geometrisch der Abstand immer Null sein.

Da F' und F per Def. gleich sein müssten.

Es scheint mir hier die Ungenauigkeit eines nicht Kommerziellen/Profi -Tools zuzuschlagen.

ODER ich habe mich verrechnet (Punkt 4 ist eine Hypothese).

Anbei die Herleitung für die Kurve (hoffe es ist verständlich).

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Ich komme (inzwischen) zum Schluss, dass

- die Berechnung Abstand[Pfad, Punkt] recht ungenau ist.

- Ortslinien und davon abgeleitete Trend-Algorythmen sehr ungenau sind.

-Die Konstuktion von GGB sehr genau berechnet wird (identisch mit Punkt F auf Kurve)

-Wärend der dynamischen Darstellung ungenau gerechnet wird (?)

- In einem statischen Zustand "nachgebessert" wird (?)

Alternativ: wenn möglich nur die Differenz zum letzten Stand gerechnet wird.

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Wie gesagt, F und F' sind per Def. gleich.

Der Abstand mit ungl. 0 zu Kurve könnte von einer Funktion im Hintergrund herrühren welche dies in Kombination mit Kurven nur nähert und nicht exakt berechnet (evtl. wird die Kurve sogar gesampelt und das Minimum der Abstände Punkt zu SampleListe ausgegeben.).

Ergänzung: Punkt 4 ist keine Hypothese.

Da:dcbcb88440c5e315d34010a09f0c62a8

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@rami,

Pardon, rami du hast recht, die Ortslinie ist natürlich ungenau. Ich habe inzwischen meinen Fehler gefunden. In der Datei "01-Dreiteilung Winkel Lemniskate" liegt der Punkt F nicht (!) auf der Ortslinie, sondern auf der geometrisch ermittelten Lage mit Vorgabe β = α/3.

@ -Loco-,

Ich habe nochmals mit der Kurve b einen Versuch gemacht. Dreiecke, Winkel und die Punkte F, D, E als "nicht sichtbar" eingestellt, sodass neben der Grundlinie nur noch der Halbkreis und deine Kurve "sichtbar waren. Anschließend habe ich die Konstruktion mit den neuen Punkten F', D', E' fertiggestellt. Das Runden ist auf 15 signifikante Stellen eingestellt. Verwendet man die vorherigen Dreiecke, Winkel und die Punkte F, D, E, ist der Winkel α/3 auf 13 bis sogar 14 Nachkommastellen (max. Anzeige) genau. Liegt der Punkt F auf der Kurve b, oder wird er auch hier durch eine andere geometrische Vorgabe bestimmt, die mit neuen Punkten (wie im Versuch) ohne Wirkung ist?

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Wie ich bereits gegenüber rami angedeutet hatte geb ich in dieser Sache nicht viel auf GGb (evtl. mache ich ja auch Fehler).

Gebe einmal folgendes ein:


  1. Circle = Kreisbogen[M, B, A]
  2. F' = Kurve(α')

Plötzlich ist der Fehler null.

Das F' entspricht in diesem Fall dem Schnittpunkt von Strecke M zu D' und der Kurve (da ja α' dem selben Winkel entspricht). Und der Kreisbogen entspricht meiner Definition welche lediglich anders geschrieben wird.

Interesanterweise verkleinert sich der Fehler schon beim verändern der Definition des Halbkreises obwohl die Objekte gleich sein sollten.

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Ein Dankeschön für diesen Tipp, der richtet die Werte so hin wie sie gehören .

Vielleicht ist es möglich die Formel von Fr. Haftendorn zur "Trisektrix Konstruktion" in 3. Klassische Kurven (Hinweis von rami "Bei Deinen Erkundungen: schau mal da hinein ..."), so zu kürzen, dass nur der benötigte Teile der Kurve dargestellt wird?

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@-Loco-

Bitte vergiss den letzten Satz meiner letzten Antwort, denn die "Trisektrix Konstruktion" wäre ein anderes Thema!

@ rami und -Loco-,

Herzlichen Dank für euer Engagement und eure Ideen, sie haben zu einer exakten Lösung geführt, bravo!

Übrigens, schneidet ein Strahl die Ortslinie, kann darauf ein Schnittpunkt erzeugt werden ...

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Die Kurven von dir, von Dr. Haftendorn und von mir sind alle die selben (mit marginalen Unterschieden). Und soweit ich das überblicke betrift das die Trisektrix Konstruktion, deshalb verstehe ich nicht deine Aussage dies sei ein anderes Thema.

Hier einmal ein Bild um zu verdeutlichen, dass die bisher behandelte Trixektix Kurve verschiedenste Definitionsgestalten annehmen kann:

gif


Wenn du nun die in Dr. Haftendorn Applet eingetragenen impliziten Kurven beschränkt darstellen willst musst du diese in eine explizite Form umwandeln (umstellen auf y) und kannst dann erst in GGb den Darstellungsbereich einschränken.

  1. Funktion(x) = Wenn[0 ≤ x ≤ R 3 / 2, sqrt((R 3 / 2 x^2 - x^3) / (x + R / 2))]

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Danke -Loco-,

das hast du wieder sehr informativ und gut verständlich dargestellt!


Bin gerade dabei die Konstruktion zu überarbeiten, dabei habe ich festgestellt, bei Verwendung der Trisektrix nach Frau Dr. Haftendorn, sehe ich im Moment keine Notwendigkeit Teile der Kurve zu verbergen. Im Gegenteil, sollte ich die Möglichkeit haben die Konstruktion in Wikipedia einzuarbeiten, ist m. E. die Lösung ohne Beschränkungen für den Leser besser zu verstehen und ein erforderlicher "Einzelnachweis", z. B. Hinweis auf ihr Buch, leichter. Trotzdem werde ich gerne deinen Vorschlag versuchen, könnte aber sein, dass noch ein paar Fragen dazu auftauchen, denn meine Anwendungen aus der Analytischen Geometrie liegen doch schon zu weit zurück... Die fertige Animation werde ich in diesem Thema einfügen.

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In meiner LaTeX-Formel/Grafik für die explizite Form ist ein Fehler drin, dummerweise kann ich das nicht mehr ändern.

Um weiteren Fragen zuvor zu kommen und um hiermit das Thema für mich abzuschließen anbei eine ausführliche Datei (Fehler sind nicht ausgeschlossen).

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Danke für die beispielhaft ausgearbeitet Korrektur, bravo!

Was sehr gut ist bei deiner Trisektrix , der Schnittpunkt "F" läuft ab 0° bis 180° ohne Unterbrechung durch. In der von mir erstellten Animation mit der ungekürzten Trisektrix läuft "F" nur bis 90°, dann muss er neu bestimmt werden, dies ist auch nochmals für den Winkel 180° erforderlich. Das ist m. E. auch die Ursache weshalb GGb diesen Punkt "F" (in der Grafik) beim "Bewegen" immer wieder verliert. Servus...

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Anbei eine Animation von der Dreiteilung des Winkels (0° < α ≤ 180°)

mit der Kurve Trisektrix als zusätzliches Hilfsmittel. Die Trisektrix Konstruktion

ist nach Dr. Haftendorn. Die Animation beginnt mit der Betrachtung div. Kurvenschnittpunkte "F" auf denen die Trisektrix anschließend darübergelegt wird. Für sehr

große Winkel (z. B. α > 170°, ungünstige Hebelverhältnisse) ist eine alternative Methode

dargestellt. Verbesserungsvorschläge nehme ich gerne an...

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@-Loco-

Nun habe ich die Konstruktion doch nochmals neu erstellt und deine

erste Trisektrix mit deinem guten Tipp F' = Kurve(α') (jetzt F = b(α)) darin umgesetzt.

Das Ergebnis ist so, wie ich es mir schon anfangs vorgestellt hatte.

Ich würde diese Konstruktion gerne in Wikipedia Commmons und evtl. in Dreiteilung des Winkels oder Trisektrix , Angle Trisection veröffentlichen, was meinst du dazu?

Vielleicht möchtest du die Beschreibung deiner speziellen Trisektrix darin einbringen.

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Ah, lass meinen Namen da raus. Ich habe die Kurve weder entwickelt noch erfunden.

Ich wollte lediglich knobeln.

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Sorry, alles klar wird gemacht...

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Zur Information: Dreiteilung des Winkels mit Trisektrix.

Danke für deine Unterstützung!

Mit bestem Gruß Petrus3743

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