Viergelenk (Koppelgetriebe) mit direkt angelenkter Koppel

Kekse_ohne_Grenzen shared this question 3 years ago
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Hallo Welt,


ich möchte ein Koppelgetriebe mit 4 Gelenken, zwei Lenkern/Schwingen und einer Koppel (so etwas, wie in beiliegendem Beispiel) so konstruieren, dass die Eingangsgröße für eine Animation der Winkel der Koppel ist.

In beiliegendem Beispiel -- so wäre der einfache Weg -- muss man einen der Lenker (hier L2) bzw. dessen unabhängigen(?) Punkt (L2'2) bewegen, um das Getriebe anzutreiben. Das lässt sich beispielsweise umsetzen, indem man den Lenker winkelabhängig definiert; hatte ich probiert, funktioniert, ist hier nur gerade nicht eingebaut ...

Stattdessen soll jedoch die Koppel (das blaue Ding rechts) per Definition ihres Winkels zu irgendeinem äußeren Bezug (z.B. x-Achse) das Getriebe antreiben. Wie müsste ich die Koppel dafür definieren? Im Prinzip bräuchte ich eine Strecke (fixe Länge), deren Endpunkte auf jeweils einer Kreisbahn (Lenker1, Lenker2) liegen müssen und für die ich einen Winkel vorgeben kann. Geht das irgendwie zu machen?


Vielen Dank schon einmal :)

Comments (24)

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Viel zu schwammig Beschrieben.

Und vermutlich schon Beantwortet: Koppelgetriebe mit vier Gliedern oder Suche.

Willst du das?:

  • Antriebpunkt: M (Drehpunkt für P_{1});
  • Angetriebener Punkt: P_{1} (gedreht per Winkel alpha um M)
  • Gekoppelter Punkt: P_{2} (mit festem Abstand zu P_{1})
  • Abtrieb: A (Drehpunkt für P_{2})
  • Abstand M zu P_{1} : a
  • Abstand P_{1} zu P_{2} : b
  • Abstand P_{2} zu A : c

Dann machst du das:

α = Schieberegler(0°, 360°*2, 1°, 1, 250, true, true, true, false)
a = 10
b = 15
c = 25
M = (10, 20)
A = PunktIn((a + c - b)^2 <= (x - x(M))^2 + (y - y(M))^2 <= (c - a + b)^2)
P_{1} = (x(M) + a cos(α), y(M) + a sin(α))
P_{2} = Element({Schneide(Kreis(P_{1}, b),Kreis(A, c))}, 1)
s = Polygonzug(M, P_{1}, P_{2}, A)
StartAnimation(α, true )

Und als Bonus das:

w = {(α, α),(α, Winkel(A + (1, 0), A, P_{2}))}
f_{α} = Ortslinie((α,α), α)
f_{β} = Ortslinie((α,Winkel(A + (1, 0), A, P_{2})), α)

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Vielen Dank für die forsche Antwort, aber das, was Du beschreibst, hatte ich vorher schon erreicht (im angehängten Beispiel nur ohne Antrieb und freilich viel weniger elegant).


Ich versuche noch einmal, es zu erklären -- diesmal anhand Deines Beispiels:

Bei Deinem Beispiel ist der "Antrieb" der Animation der Winkel der Strecke MP1 zur x-Achse. Das will ich nicht. Ich will als Antrieb den Winkel der Strecke P1P2 (zur x- oder y-Achse ... pupsegal).

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Anmerkung: Die obere Lösung ist nicht vollständig bzw. nur eingeschränkt. Da die Bewegungen eingeschränkt sind.


Zu deinem Problem: GGb kennt nur eine Ursache zur Wirkung. Alles andere muss man Skripten. Und das was du beschreibst klingt nach: "suche eine Strecke der Länge b mit den Endpunkten auf Kreis(M,a) und Kreis(A,c) welche in einem bestimmten Winkel im Koordinatensystem liegt". Im Prinzip dürfte das möglich sein übersteigt jedoch meine derzeitigen zeitlichen Kapazitäten.

Ein paar Ansätze:

  • P_{1} und P_{2} können über jeweils eigene Parameter (phi_1 und phi_1) auf ihren Kreisen als x,y Paare dargestellt werden. Also kann man Abhängig von phi_1/2, der Abstandsformel und dem arctan2 eine Minimierungsfunktion basteln welche in einem Skript versucht wird zu lösen. Das dürfte aber stark ruckeln.
  • Mann könnte die genauen Winkelverläufe bei einem vollständigen Durchgang abgreifen abspeichern (die Lösung oben ist nicht vollständig (siehe P_{2} - Einschränkung)) und dann die gewünschten Werte über ein Skript anfahren. Indem man den gewünschten Winkel auf dem Winkel(P_{1}+(1,0),P_{1},P{2})-Verlauf sucht und den zugehörigen alpha Winkel abruft und einstellt.
  • Wenn du nur eine lineare P_{2/1}-Kreisbewegung brauchst kannst du ja P_{2/1} als Zentrum nehmen.
  • Oder man bemüht die Mathematik. Und löst die Gleichung auf den gewünschten Winkel und bekommt den einzustellenden alpha-Winkel. Das müsste möglich sein.

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Damit es eine allgemeinere Lösung (es gibt noch ein paar mehr Spezialfälle die nicht abgefangen werden) gibt es hier eine bessere Lösung für ein übliches Vier-Glied-Koppelgetriebe (Antrieb an Punkt M) im Anhang.

Fragen an die erfahreneren Zaungäste hier im Forum:

  • Das "Springen" der Ortslinien bei der Animation von phi_M stört ist das ein Bug bzw. kann man das verhindern (Bsp. Punkt A möglichst nahe zu M und ein mal durchlaufen lassen)?
  • Ich hatte vor längerer Zeit einmal eine Datei erstellt in welcher eine Grafikansicht auf einen festen Bereich limitiert war (Zoom = aus) geht das nicht mehr? Wenn ich die alte Datei öffne besteht das Verhalten noch (siehe: letzte Datei hier)

Files: getr.ggb
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Hallo!


Ich bin zwar wirklich kein erfahrerer Zaungast, aber zum Springen kann ich etwas schreiben.


Das liegt daran, dass der atan2 einen Wert zwischen -π und +π angibt und bei Dir "springt" die Funktion genau an der Stelle zurück in den negativen Bereich, da sie "größer" als π wird bzw. zu werden scheint.

Netterweise liegt da ein Teil oberhalb und ein Teil der Funktion unterhalb der x-Achse, was es relativ einfach macht, eine neue "Funktion" zu definieren, die halt nicht springt.


atan3=Wenn(atan2(y(P_{2} - A),x(P_{2} - A)) > 0, atan2(y(P_{2} - A),x(P_{2} - A)) - 2π, atan2(y(P_{2} - A),x(P_{2} - A)))

Man verschiebt also einfach den oberhalb der x-Achse liegenden Teil um 2π nach unten, behält den Rest bei und definiert damit dann die Ortslinie:


f_{φA}=Ortslinie((φ_{M}, atan3), φ_{M})

Hoffe, dass das dann so aussieht, wie Du es möchtest.


Gruß

mire2

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Besten Dank für die Anregungen.


Ich bin mir nicht sicher, was Du mit der allgemeineren oder der (un)vollständigen Lösung meinst. Falls es um die Umlauffähigkeit geht (also, dass mindestens das angetriebene Element tatsächlich eine volle Umdrehung ("Kurbel") durchlaufen kann und das Getriebe für jede Position dieser Umdrehung definiert ist) -- die ist bei meinem Anwendungsfall kein Kriterium. Das, was ich im Sinn habe, ist wirklich nur eine Doppelschwinge (nicht umlauffähig, keine Kurbel), welche obendrein nur in einem sehr kleinen Winkelbereich genutzt wird und durch äußere Zwänge auch auf diesen beschränkt wird.


(Ich habe keine Ahnung von Mathe -- eigentlich würde ich die Aufgabe lieber mit Klickibunti-CAD lösen: grobe Skizze, Bemaßungen und Beziehungen nachträglich ergänzen. Antrieb, Abtrieb? Völlig beliebig. Alles geht. Aber die schöne grafische Analyse in GeoGebra ... und man muss ja auch mal was Neues versuchen).

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Wenn du eine genaue Vorstellung hast wäre eine Skizze mit folgenden Informationen hilfreich:

  • Lagerpunkte/Position der Koppelaufhängung zueinander Winkel und Abstand (ungefähr)
  • Lage der Koppeln für den Anwendungsfall (ungefähr)
  • Längenverhältnisse der Koppeln (ungefähr)
  • Winkelbereich der angestrebt ist (ungefähr)

Je nachdem hilft das weiter wenn noch Interesse besteht.

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Hallo mire2, und danke. Aber eigentlich meinte ich das Blinken. Hätte das wohl eindeutiger formulieren sollen.

258d95172e2c891ead3b04688a95150c

Habe aber nun herausgefunden, dass das per [Kontinuität = An] in den Einstellungen unterdrückt wird.

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Ich bins wieder. Verzeiht die späte Rückmeldung. Ich hänge eine grobe Handskizze an, die das Problem geometrisch ein klein wenig eingrenzt (alle angegebenen Maße sind grobe Größenordnungen und beziehen sich auf die Ausgangslage des Koppelglieds):

b0da4139ee2e6417152b5509d1494211

Die schraffierte Fläche links ist der mögliche Montageraum für die "Festlager" der Lenker/Schwingen (diese wiederum sind nicht eingezeichnet). "Lenker"/"Schwingen" heißen hierbei diejenigen Dinger, deren eines Ende im Bezugskoordinatensystem fix ist und deren anderes Ende (also das lose Ende) um das fixe Ende rotieren kann. Die beiden losen Enden der Schwingen sind durch die Koppel verbunden (das ist der eingezeichnete "Knochen", etwa in der Mitte der Skizze).

Die Koppel ist in Ausgangsposition ungefähr parallel zur Längskante des oben genannten Montageraums. Sie soll im Idealfall um 24 ° nach links und 30 ° nach rechts auslenkbar sein. Ebendieser Winkel soll der Antrieb der Animation sein.

Inwieweit die Koppel beim Auslenken horizontal/vertikal verschoben wird, sei erst einmal zweitens (Teil einer anschließenden und noch zu konkretisierenden Optimierungsaufgabe zu diesem Getriebe).

Falls das hilft, wäre es schön. Falls nicht -- auch kein Beinbruch.

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Als Anhang Koppelgetriebe01.

Mit Näherungsverfahren für die Einstellung des Winkels der Koppel (mittels Schieberegler).

Die gegenseitig abhängigen Radien (Schwingen, Koppel) sind so gewählt, dass möglichst ohne gegenseitige Korrektur der Abmessungen mit den Parametern die optimalen Masse und Positionen gefunden werden können.

Anmerkung: in Extrempositionen beginnt das Näherungsverfahren zu schwingen. Dann muss der Divisions-Faktor in speed_0 (zur Zeit 20) erhöht werden.

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Aber:

Falls das Modell eine physische Realisierung bekommen soll, so ist der Anhang "Koppelgetriebe02" ev. geeigneter. Mit Linear-Motoren liesse sich das Modell noch weiter vereinfachen.

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Nach der dynamischen Anpassung des Wertebereichs (dies war der Hauptfehler) vom Schieberegler "winkel" und der Dämpfung für die Approximatin (speed_0) sollte (hoffentlich) das Nachführen von C auch in den Extrempositionen funktionieren.

Natürlich würde das Nachführen von C mittels einer Funktion rascher (ohne Verzögerung) erfolgen.

Allerdings ist das Erzeugen (in Abhängigkeit der Parameter) dieser Funktion ist (für mich) nicht so ohne weiteres machbar.

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Danke! Diese Lösung tut das, was ich meinte. Und ich habe nicht die geringste Ahnung, wie sie das tut :D

Ich versuche mal, nachzuvollziehen, was da passiert ...

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Ob ich Dir mit dieser Version Freude bereite, wage ich zu bezweifeln. Sie ist noch um einiges Anspruchsvoller als die Vorangehende Version.

Der Vorteil dieser Version liegt darin, dass ein erster Wert (ca auf 1° genau) sehr rasch gefunden wird. Anschliessend läuft im Hintergrund und parallel zu den übrigen Aktionen eine (recht präzise) Annäherung an den vorgegenene Winkel (für Punkt C). Die Geschwinigkeit der Annäherung ist stark abhängig vom vorgegebenen Winkel.

Die erste, rasche Phase basiert auf der Funktion fOLW(). Sie gibt für einen vorgebenen Winkel den (ungefähren) Pfadparameter von C auf a' zurück. Diese Funktion wird mittels einer Ortslinie erstellt, die (unter anderem) mit TrendSin() in eine trigonometrische (!) Funktion überführt wird. Der (vermutlich nach wie vor unverständliche) Rest ist praktisch unverändert. Geändert hat die Berechnung von speed_0, die nun obige Funktion zur Dämpfung mit verwendet (je näher der Funktionswert bei y=0 um so kleiner werden die Iterations-Schritte). Es ist denkbar, dass in extremen Fällen die Annäherung osziliert, dann müsste vermutlich der (jetzige) Wert von 400 im Objekt speed_0 herab gesetzt werden.

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Ich kann an dieser Stelle nicht den vollständigen Umfang von GGB in einer beliebigen Tiefe erläutern. Vor allem kenne ich dazu Dein Verständnis und Vorwissen nicht. Ich schlage deshalb vor, dass Du in mehreren Schritten möglichst spezifische Fragen stellst, die ich Dir so kompakt und verständlich (wie ich vermag) beantworten werde.

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Vielleicht ist jemand (Loco, mire2, abakus und und) in der Lage die Formel für die Funktion fOLW() ohne Umweg über die Ortslinie zu erstellen. Das würde die Anwendung erheblich vereinfachen und beschleunigen.

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Hallo rami,

schön, dass du dich des Problems hier annimmst. Ich bin derzeit etwas eingebunden und kann nicht so viel Zeit zum knobeln aufwenden wie ich gerne würde.

Da ich trotzdem etwas geknobelt hatte will ich meine Bemühungen hier einbringen damit es dir weiterhilft:

  • Durch mein Studium habe ich Kenntnis von einer guten Quelle zu Getrieben erlangt welche für dieses Problem recht hilfreich ist. Da ich das Modul jedoch nicht weiter besucht habe kann ich leider nicht mit Expertenwissen dienen. Um meine Rechenschritte einer alten Aufgabe hier im Forum nicht noch einmal nachvollziehen zu müssen bin ich dort nach kurzer Suche auf die Folgende Seite gestoßen: Getriebetechnik Grundlagen (1992) - Kapitel 6.2.2.1 Kurbelschwinge (ja diese Probleme sind uralt und es lohnt etwas zu suchen, da das schon alles einmal gemacht wurde). Dort werdet ihr eine kurze Herleitung für die Berechnung von Antriebs- und Abtriebswinkel finden. Und ganz nebenbei auch den Winkel den ihr braucht.8473d07f5f465e7dc79b3fe6e9d856b2
  • Da das eurige Problem jedoch allgemeiner ist A_{0} und B_{0} nicht auf einer Ordinate oder Abszisse müsst ihr euren Wunschwinkel mit dem Winkel der Punkte zum Koordinatensystem verrechnen (transformieren). So, dass ihr den Winkel phi_{31} im normalisierten System erhaltet.
    φtarget_{31} = α - atan2(y(A_{0} - B_{0}),x(A_{0} - B_{0}))
  • Mit Hilfe der Formeln aus dem Buch (der Schritt mit dem arctan ist etwas ungeschickt für diesen Fall hier) kann man nun eine Formel für den Winkel phi_{31} in Abhängigkeit vom Antriebswinkel phi_{21} aufstellen (alles im normalisierten System). Das führt in etwa zu dem hier:

    gif

    a(x) = l_{2}^2 + l_{1}^2 - 2l_{1} l_{2} cos(x)
    Φ(x) = arccos((l_{3}^2 + a(x) - l_{4}^2) / (2 l_{3} sqrt(a(x)))) - arccos((l_{1} - l_{2} cos(x)) / sqrt(a(x)))

    Hier habt ihr eine Funktion mit welcher ihr einen Winkelwert (euren Wunschwinkel im Normalsystem) vorgeben könnt und dann den passenden Antriebswinkel (x-Wert) suchen könnt.

  • Jetzt kommt der Punkt für welchen ich keine Zeit mehr hatte. Im Prinzip kann man eine Funktion umkehren (wenn man diese nicht numerisch Lösen will). Bei Trigonometrischen Funktionen und Wurzelfunktionen ist das jedoch meist etwas haarig. Und ist dann nicht immer eindeutig. Deshalb habe ich mich nach etwas Symbolschubserei dazu entschlossen doch lieber zu meinem drängenderen Aufgaben zurückzukehren. Fall jemand jedoch weiter knobeln will so ist diese Relation interessant:

    gif

    (hier zu finden).

  • Dies führte mich dann hier hin (leider fehlt mir die Zeit das weiterzuentwickeln):

    gif

    f(x) = ((l_{3}^2 + a(x) - l_{4}^2) (l_{1} - l_{2} cos(x)) + sqrt((-(l_{3}^2- l_{4}^2)^2 + a(x) (2l_{3}^2 - a(x) + 2l_{4}^2)) (l_{2}^2 - l_{2}^2 cos(x)^2))) / (2l_{3} a(x))
  • Das dürfte euch jedoch schon ziemlich weiterhelfen, da ihr an dieser Funktion direkt den cos-Wert eures Wunschwinkels im Normalsystem suchen könnt (leider gibt es Stellen an welchen die Funktion recht flach ist). Der beste Fall wäre diese komplett auf phi_{21} umzustellen (wenn es denn geht).

Das wars von mir erstmal.

-Loco-


PS.: rami wenn du schon einen Regler gebaut hast. Warum nicht einen GGb PID-Regler (oder ähnliches) bauen welcher leicht und überall benutzt werden kann? Quasi eine fertige Lösung. Sicherlich für viele interessant welche mit Reglern experimentieren möchten und nicht wissen wie man in GGb ein Regelsystem hinbekommt.

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@Loco

vorerst mal: Danke.

Vermutlich werde ich von der (im Buch) normalisierten Form ausgehen (A_0 im Ursprung und B_0 auf xAchse) und dann das Resultat Verschieben(Drehen()). Andererseits lässt mich die Abbildung im Buch vermuten, dass man die gesuchte Funktion auch mittels Dreieckwinkeln (statt mit den Polarkoordinaten) finden kann. Dazu werde ich meine spärlichen Trigonometrie-Kenntnisse wieder einmal hervorklauben.

Was die Inversion der Formel anbelangt so komme ich vermutlich mit Verschieben entlang der yAchse und Nullstellen() weiter. Das wiederum entspricht vermutlich dem, was Du mit numerische Lösung der Umstellung meinst. Dann käme vielleicht auch die Spiegelung der gefundenen Funktion entlag der Geraden y=x in Frage.

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Zum Regler-System PID.

Ich werde den Wikipedia-Artikel (später) mal Studieren. Vielleicht bietet er ein Konzept, wie man eine optimale Dämpfung findet. Damit hatte (und habe ich immer noch) die meiste Mühe. Dabei ist ein wesentlicher Aspekt das Zeitverhalten von GGB, das von der Applikation und der Systemperformance abhängig ist (könnte man allenfalls mit Zeitabfrage() in den Griff kriegen, so, dass die Dämpfung "lernfähig" wäre)

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Zwischen-Schritt

Ich denke ich habe eine Lösung für den inversen Weg gefunden (ausgehend von φ_{31}).

Der Lösungsweg ist sogar mit Zirkel und Lineal zu erreichen.

Dass der Lösungsweg richtig ist, kann ich allerdings nur empirisch herleiten.

Für mich ist das konstruierte Parallelogramm (A_0, A_1, B', A') eine einleuchtende Erklährung (aber natürlich noch keine Beweisführung, dass der Vorwärts- und der Rückwärts-Weg deckungsgleich ist)

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Der Lösungsweg stimmt so. Die Konstruktion stimmt auch.

Gratuliere dir, elegant gelöst.

Wie du in deinem File bereits erwähnst braucht man das "SetzeWert()" nicht.

Auf diese Weise lässt sich das Problem von Kekse_ohne_Grenzen rein geometrisch und ohne rechnerei lösen. Man braucht noch nicht einmal die Transformation.

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Ihr seid Helden!

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Noch mal vielen Dank, auch für die Erklärungsansätze.

In plumpen Worten würde ich sagen, dass Deine Lösung eine Regelung simuliert, welche durch Stellung von [habe ich noch nicht herausgefunden] auf den Sollwert des Winkels regelt, also die Abweichung zwischen dem Ist-Winkel und dem Soll-Winkel durch ein (zuletzt zweistufiges) Näherungsverfahren minimiert. Mit den mathematischen und programmtechnischen Einzelheiten setze ich mich noch auseinander (vielleicht nach dem Frühstück oder so) ...

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Ja, Regelung, Simulation treffen das 2. Verfahren recht gut.

Es wird der Winkel(Vektor(C,D)) also der Winkel der Koppel relativ zur xAchse mit dem Sollwert-Winkel im roten Schieberegler verglichen und bei Abweichung wird der Punkt C auf a' (per Animation ON) in die richtige Richtung in einer adäquaten Geschwinigkeit bewegt. Adäquat meint: nicht zu schnell sodass C nicht über das Ziel hinaus schiesst aber so schnell als möglich, sodass die Regelung möglichst rasch abgeschlossen ist. Mit Annäherung von C an die Position für den Sollwinkel der Koppel wird die Animation verlangsamt. Dies geschieht mit "speed" im Eigenschaften/Algebra im Objekt C.

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das neue, vorangehende 1. Verfahren ermittelt aufgrund des Winkel-Sollwertes (roter Schieberegler "winkel") mit einer Funktion fOLW() die Soll-Position von C auf a'. Diese Position ergibt den gewünschten Winkel für die Koppel. Die Position von C auf a' ist durch den sog. PfadParameter bestimmt. Es ist dies ein Wert von 0 bis 1 mit der die Länge des Kreisbogens a' unterteilt ist. Der Pfadpameter ist eines der wichtigen Konzepte von GGB, es lohnt sich dazu das Manual zu konsultieren.

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Im Schieberegler "winkel" befindet sich auch der Skript, der die beiden Verrfahren anstösst.

Stoppen der Animation von C

Verschieben C aufgrund der Funktion (1. Verfahren)

Starten der Animation von C für das 2. Verfahren.

Das Anstossen der Verfahren 1 und 2 geschieht unter der Bedingung, dass das entsprechende Kontrollkästchen (ausgeblendet) auf ON steht. Dies für Testzwecke und allfällig spätere Ergänzungen.

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Und zu guter Letzt: Hier noch eine schlichte Lösung für diese interessante Problemstellung (danke dafür).

Siehe auch "Subtread mit Loco"

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Hinweis:

allle Objekte mit Präfix"H" dienen nur zur Illustration des Lösungsweges, sind also rein zeichnerisch relevant und sind Hilfsobjekte. Die effektive Realisierung ist etwas kompakter.

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Ich find die Lösung immer noch total schön :D

Selbst, als sie vor mir lag, musste ich mir längere Zeit den Kopf kratzen. Dabei steckt ja eigentlich "nur" dahinter, dass man Vektoren in beliebiger Reihenfolge addieren kann und dennoch immer beim selben Punkt ankommt bzw. denselben resultierenden Vektor erhält (oder mit Bestandteilen des Getriebes gesprochen: man kann gedanklich Lenker und Koppel tauschen bzw. den Zug aus beiden durch das entsprechende Parallelogramm ersetzen). Aber dieses "Nur" erst einmal in der Aufgabe zu erkennen ...

Eigentlich wollte ich aber eine Frage fragen: Loco, Du benutzt in Deinem letzten Beispiel die Funktion Element(), um von den beiden möglichen Schnittpunkten zweier Kreise nur einen als Ergebnis zu erhalten (im Beispiel war es, glaube ich, der zweite). Hast Du durch Probieren herausgefunden, ob Du den ersten oder zweiten Schnittpunkt nehmen musst, oder gibt es dahinter eine System in GGB?

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Du meinst sicherlich das hier:

Element({Schneide( <Kreis>, <Kreis> )}, <Nr1/2> )
rami geht jedoch den selben Weg nur, dass ich den Befehl den er verwendet noch nicht kannte:

Schneide( <Kreis>, <Kreis>, <Nr1/2>)

es kommt aber das gleiche heraus. Wohl eine Abkürzung die in neuerer Zeit eingepflegt wurde.


Ich habe es ausprobiert. Wenn man die Routinen im Hintergrund für Schnittpunkte zweier Kreise kennen würde könnte man das auch genau vorhersagen. Wenn einem das wichtig wäre könnte man selbst die Gleichungen aufstellen und lösen entweder über die Winkel oder halt über die Kreisgleichungen.

Falls du fragst weil die Punkte eventuell "springen" dann musst du die Kontinuität im Einstellungs-Dialog auf "An" setzen.

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Danke! Den zusätzlichen Parameter in Schneide() hatte ich gar nicht bemerkt. Das hilft, Formeln etwas zu entblähen und die Algebraansicht nicht mit unnötigen Alternativergebnissen zuzumüllen.

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