Triangles égaux

Rousseau-Wallon shared this idea 1 month ago
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Bonsoir !

En bidouillant avec les entiers somme de deux carrés j'ai construis ces triangles dont l'égalité n'est pas triviale et nécessite l'utilisation du théorème de Pythagore.

J'ai aussi trouvé que le triangle 3-7-8 à un angle de 60° entre les côtés 3 et 8, ce qui permet de le construire de deux manières. Prouver l'égalité de ces deux triangles est plus compliqué mais faisable au collège.

D'autres triangles ?

Comments (20)

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(attention aux noms de fichiers)


c'est quoi la question ?

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ben auriez-vous par hasard sous la main d'autres triangles,

des triangles simples

- à côté entiers, avec des angles de 30, 45, 60, 90° ... , obtenus à partir d'un quadrillage, etc -

et dont l'égalité n'est pas triviale

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"l'égalité n'est pas triviale" pourquoi faire une différence entre Pythagore et Al-Kashi


avec 60° ça roule "facilement"


3,8->7 cité


mais aussi par exemple (si je ne fais pas d'erreur de calcul)

5,8->7

5,20->18

7,15->13

8,15->13


10,16->14

15,20->18

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Et pour 120° on a 3 5 7 et 7 8 13 par exemple

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ok pour al-kashi, mais prouver l'égalité de par exemple 3-5-7 avec 3-60°-5 n'est pas chose aisée au collège


il y a peut-être d'autres façons simples d'obtenir deux triangles égaux sans passer par al-kashi, comme le quadrillage de mon fichier posté par exemple

des constructions dont l'égalité n'est pas évidente et nécessite une preuve pas trop compliquée

là-dessus c'est le vide absolu dans les livres que j'ai consulté

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.../...

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Bonsoir

Un exemple de triangles isométriques simples sur quadrillage, à partir de triplets pythagoriciens, où on place l'hypoténuse soit oblique, soit parallèle aux axes : à un retournement près, on en fabrique 2 pour chaque triplet (j'ai mis le 2e pour le triplet 3,4,5, tu avais donné le premier dans ton fichier, j'ai fabriqué les 2 autres à partir du triplet 5,12,13).

Hervé

Par contre, pour ton 2e exemple, c'est plus coton...

Hervé

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Voilà le fichier...

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avec un triplet on peut aussi construire deux triangles dont l'égalité résulte d'un calcul angulaire. ici avec le triangle 345 :

alpha + béta = 90°

donc delta = 190 - 90 = 90°

pour peu que AB ait déjà été calculée on a ABC = DEF

Files: 345.ggb
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quant au triangle 378 on peut procéder de la façon suivante :

données : AB = 8, BC = 3 et ABC = 60°.

soit M le milieu de AB et H le point de [BC) tel que BH = 4.

1°) on prouve que BMH est equilatéral.

2°) dans AMH isocèle en M on a AMH = 120° et AHM = 30°.

3°) AHB = AHM + MHB = 30 + 60 = 90°.

4°) Pythagore dans AHB donne AH^2 = 48.

5°) Pythagore dans AHC donne AC = 7.

CQFD

Files: 378.ggb
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Bonjour

Avec ton exercice, tu retrouves le triangle 3-120°-5 en considérant le triangle AKC, avec AK=5 sur [AB]. Pas besoin d'Al-Kashi donc pour tous ces triangles fabriqués avec un cosinus qui vaut +-0.5.

Hervé

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remarque : sans Pythagore on peut montrer l'égalité de tes triangles, en faisant comme le post du fichier 345 plus haut : ils ont clairement deux côtés de même longueur et l'angle entre ces deux côtés est droit

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Bonsoir

Exact, sauf pour les marrons, qui ne sont pas rectangles (c'est le cas à chaque fois qu'on construit par l'algorithme avec retournement, l'algorithme sans retournement donnant un triangle rectangle : ça doit se démontrer avec la structure des triplets pythagoriciens). Pour les autres, ANO+INP=90 ne me paraît pas trivial : ça oblige à passer par des triangles semblables, non ?


Hervé


Hervé

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si ANO+INP=90 est triviale, car INP = OAN

mais au fait, c'est quoi votre algorithme avec/sans retournement ?

comment obtenir les triangles à partir de par exemple 5-12-13 ?

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un simple coliorage suffit pour ces triangles :

Files: 3452.ggb
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j'ai écris des exos correspondants

pour les exos 1 à 4 Pythagore est nécessaire 2 fois seulement (à l'ex 4)

Files: ego.pdf
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à vrai dire il est préférable que les élèves construisent eux-mêmes les triangles, ce qui laisse de place pour d'autres exos rigolos

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Bonsoir

Après réflexion, le fait que les triangles de côtés triplets pythagoriciens marchent si bien vient du fait qu'on peut les obtenir par rotation dont le couple (cos, sin) vaut (+-3/5,+-4/5) ou (+-4/5,+-3/5) dans le cas du triplet (3,4,5). L'image par une rotation de centre O d'un triangle à coordonnées entières est alors nécessairement un triangle à coordonnées rationnelles, il suffit de choisir ceux qui marchent. Dans le cas particulier d'un triangle ABC, avec A=O, B(5,0) et C(a,b), son image par la rotation (O,arccos(3/5) sera AB'C', avec B'(-4,3). Il reste à trouver les C qui marchent : on montre facilement par un raisonnement arithmétique qu'il suffit que 5 divise 3a-4b et que 5 divise 4a+3b, d'où une infinité de couples modulo 5, les "premiers" étant (0,0), (1,2), (2,4), donc aussi (-2,-4), (-1,-2).

Ci joint un fichier donnant les premiers triangles obtenus en faisant varier la variable couple et les variables k et k' pour les modulo 5.

Hervé

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intéressant, mais je n'arrive pas à ouvrir ton fichier un message d'erreur apparaît

quel est ce raisonnement arithmétique je ne vois pas


ci-dessous : correction de qq erreurs du fichier EGO, reformulation de la question 1.1 et ajout d'une question à l'ex 6

fichier quadrillage centimétrique pour les constructions

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Bonjour

Réponse tardive, avec le fichier joint et une explication : ce n'est pas du niveau collège, mais ça donne un mode de fabrication d'une infinité de triangles qui répondent à ta demande.

Hervé

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