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Gibt es in GeoGebra die Funktion sl() und cl()- Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus?
Ich konnte dazu nichts finden.
Ich würde gern die Funktionen sin() und sl() graphisch gemeinsam darstellen, um die Unterschied zu demonstrieren.
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Do you have a reference (eg Wikipedia) for sl() and cl()?
I think you will be able to use Locus() to plot them
https://wiki.geogebra.org/e...
Hi Michael,
thank you very much for your support and the time spent.
I will proceed my comment in German language since my English is not so perfect and the topic is complicated (for me).
Das Bild, das ich in meinem letzten Kommentar gesendet habe, war die Situation, an der ich nicht weiter wusste.
Der Lemniskate-Sinus sl() beschreibt die Bogenlänge s als Funktion der Vektorlänge s und dem Betrag s des Vektors..
r(s) = sl(s)
Die Bogenlänge s wird gemessen ab dem Koordinatenursprung (0,0), also mit einem Startwinkel φ = π/4.
Wie in meinem Bild gezeigt, ist r = a∙sqrt(2∙|cos(2φ|).
Dies ist eine Beziehung zu φ, aber nicht zu s.
Ich suche nach der Berechnung der Bogenlänge s mit GeoGebra als Integral von 0 bis r, wie in Wikipedia beschrieben.
Ich bin kein Mathematiker und habe keine Idee, wie das realisiert werden könnte.
Ziel meiner Überlegungen ist, wie sich die Frequenz der Funktion sin() von der Frequenz sl() unterscheidet.
In der deutschen Wikipedia-Version von https://de.wikipedia.org/wi... ist ein Bild gezeigt, welches die Funktionen sin() und sl() gemeinsam in einem Diagramm darstellt.
Allerdings wird hier sl() als normierter Wert dargestellt.
Ich kenne zwar einen normierten Sinus
si(x) = (sin(x))/x
oder
sinc(x) = (sin(πx))/πx
aber keinen normierten sl(x).
Maybe Length(curve, start, end) is useful?
https://wiki.geogebra.org/e...
http://www.lorenzoroi.net/c...
Vielleicht kommst Du in GGB mit der Lemniskate als Kurve() (anstelle von Gleichung) weiter.
Die beiden Vorschläge von Michael Borcherds (ohne Mathematik) umgesetzt für eine halbe Periode (inklusive Normalisierung)
Bezüglich Perioden-Länge meine ich (also nicht: wissen), dass das Verhältnis zwischen sin(x/r) und sinL(x/r) (nicht normalisiert) konstant ist.
Der Umfang der beiden Pfade (Kreis und Lemniskate) entsprechen der jeweiligen Perioden-Länge.
Siehe Beilage
Wenn man die Vorzeichen vom Vektor(O,B) (=vOB) "richtig" (quadrantengerecht) berücksichtigt, ergibt sich eine Sinuskurve ohne Sprünge in der X- oder der Y-Achse. Es muss mit Gegenkathete und Hypotenuse gearbeitet werden (anstelle des Winkels) und der Beginn der Lemniskate (A) muss auf den Beginn (Punkt(lemni, 0)) gelegt werden (statt fälschlicherweise auf das Ende = Punkt(lemni,1)).
Inzwischen bin ich der Ueberzeugung, dass ausschliesslich die Länge(lemni, A, B) den x-Wert von SinLP bestimmt (auch der Quadrant ist nicht bestimmend) und somit die Perioden-Länge von sinL (nicht normalisierte, rote Sinuskurve der Lemniskate) immer genau dem vollen Umfang der Lemniskate entspricht
PeriodenLänge Lemniskaten Sinus =Länge(lemni, Punkt(lemni, 0), Punkt(lemni, 1))
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Note: Der Unterschied zum Sinus im Einheitskreis besteht darin, dass in meiner Lösung für SinLP nicht nur die Gegenkathete sondern auch die Hypotenuse vorzeichenbehaftet sein muss. Damit ergeben sich 4 statt nur 2 Vorzeichenkombinationen. Hier könnte ein Zusammenhang mit den erwähnten "2 Perioden" im Wikipedia-Artikel bestehen.
Hier noch die Normalisierung.
Die Erweiterung von Version 05 mit Normalisierung (Version 06) ist relativ trivial und kann bereits beim Punkt SinLP aufsetzen (mittels Faktoren), sodass die Herleitung über die Punkte der Ortslinie nicht mehr notwendig ist.
.
Note: eigentlich ist alles zwischen sin(x/r) und sinL analog/synchron (auch der Startpunkt). Einzige Ausnahme ist das Vorzeichen bei der Hypotenuse (und natürlich dass der Kreis bei der Lemniskate "überschlagen/verdreht" ist und einen grösseren Umfang hat als der entsprechende Kreis)
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