sl() und cl() - Sinus lemniscatus

Otto shared this question 1 year ago
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Gibt es in GeoGebra die Funktion sl() und cl()- Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus?

Ich konnte dazu nichts finden.

Ich würde gern die Funktionen sin() und sl() graphisch gemeinsam darstellen, um die Unterschied zu demonstrieren.

Best Answer
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Create an additional slider (tt)

  • min=0, max=2pi increment=2pi/360
  • increasing

Script onUpdate tt

  • SetValue(B, lemni(tt))

Initial:

  • Animatio B = OFF
  • tt=0

Start Menu/Export/animatedGIF with the parameters

  • Slider tt=0
  • Time between frames about 40ms
  • as Loop=yes
  • Click Export
  • wait, have a cup of coffee

Comments (26)

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Do you have a reference (eg Wikipedia) for sl() and cl()?

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Möglich, das folgendes Bild weiterhilft.

Der Winkel φ kann nicht größer als 45° sein.

cf13f9f1df51aee776d3366ea6ef4fce

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I think you will be able to use Locus() to plot them


https://wiki.geogebra.org/e...

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Hi Michael,

thank you very much for your support and the time spent.

I will proceed my comment in German language since my English is not so perfect and the topic is complicated (for me).


Das Bild, das ich in meinem letzten Kommentar gesendet habe, war die Situation, an der ich nicht weiter wusste.


Der Lemniskate-Sinus sl() beschreibt die Bogenlänge s als Funktion der Vektorlänge s und dem Betrag s des Vektors..

r(s) = sl(s)


Die Bogenlänge s wird gemessen ab dem Koordinatenursprung (0,0), also mit einem Startwinkel φ = π/4.


Wie in meinem Bild gezeigt, ist r = a∙sqrt(2∙|cos(2φ|).

Dies ist eine Beziehung zu φ, aber nicht zu s.


Ich suche nach der Berechnung der Bogenlänge s mit GeoGebra als Integral von 0 bis r, wie in Wikipedia beschrieben.


Ich bin kein Mathematiker und habe keine Idee, wie das realisiert werden könnte.


Ziel meiner Überlegungen ist, wie sich die Frequenz der Funktion sin() von der Frequenz sl() unterscheidet.


In der deutschen Wikipedia-Version von https://de.wikipedia.org/wi... ist ein Bild gezeigt, welches die Funktionen sin() und sl() gemeinsam in einem Diagramm darstellt.

Allerdings wird hier sl() als normierter Wert dargestellt.


Ich kenne zwar einen normierten Sinus

si(x) = (sin(x))/x

oder

sinc(x) = (sin(πx))/πx

aber keinen normierten sl(x).

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Maybe Length(curve, start, end) is useful?


https://wiki.geogebra.org/e...

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Hallo Claude,

vielen Dank für Deinen Link mit dem tollen Überblick zum Thema Lemniskate!

Gruß, Otto

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Vielleicht kommst Du in GGB mit der Lemniskate als Kurve() (anstelle von Gleichung) weiter.

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Die beiden Vorschläge von Michael Borcherds (ohne Mathematik) umgesetzt für eine halbe Periode (inklusive Normalisierung)

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Hallo Rami,

das ist die Lösung, nach der ich suchte!

Ich bin überrascht, wie gering die Abweichungen der Elongationen der Funktionen sin() und normalisierter sinLP sind.

Die von Dir definierten verschiedenen Normalisierungen SinLP, SinLP' und SinLP'' werde ich mir noch in Ruhe ansehen.

Ich verstehe, daß sich Deine graphische Darstellung des Lemsniskatischen Sinus auf die erste halbe Periode bezieht, das heißt den Kurvenbereich der Lemniskate aus dem 1. Quadranten (Parameterkurve b mit Bereich 0<= t <= π/2).

Ich verstehe, daß einer kompletten Sinusschwingung des Bereiches 0 ... 2π ein Kurvenbereich der Lemniskate des 1. und 4. Quadraten entspricht.

Die komplette Lemniskate, einschießlich des 2. und 3. Quadranten, würde dann zwei Periodendauern der Sinusschwingung entsprechen.

Daraus würde ich schlußfolgern, daß sich die Frequenz einer Schwingung auf Basis der Cassinsichen Kurven ("außerhalb der Lemniskate") sich mit dem dem Übergang zu einer Lemniskate sprunghaft verdoppelt.

Noch einmal vielen Dank für Deine Hilfe!

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Bezüglich Perioden-Länge meine ich (also nicht: wissen), dass das Verhältnis zwischen sin(x/r) und sinL(x/r) (nicht normalisiert) konstant ist.

Der Umfang der beiden Pfade (Kreis und Lemniskate) entsprechen der jeweiligen Perioden-Länge.

Siehe Beilage

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Ich bin mir auch nicht sicher.

Das war der Anlass meiner ursprünglichen Frage hier im Forum.


Ich fand bei Wikipedia einen Satz am Ende von https://de.wikipedia.org/wi... , Zitat:

"Im Gegensatz zum Sinus hat also der lemniskatische Sinus /1f7619ebf03946355493b5ab9479bca1f3759676 zwei Perioden/fe51c6334f321b77d69548761bef169d47265a15 und /b585d02f2fe73d984ec3f42bf6b39d2bf1a89ed5, ebenso die Funktion /5bb8eee7dbf9b028b50f202f0f6277554a31946f. "

Diese Aussage konnte ich mir nicht so richtig erklären.

Ich vermute, daß der Umfang des Einheitskreises und der Umfang der Lemniskate nicht die entscheidende Rolle spielen, sondern eher die Richtungsumkehr der Lemniskate in (0,0).

Die Lemniskate bildet zwar eine durchgehende Kurve, aber der Mittelpunkt (0,0) der Lemniskate ist singulär und ein so genannter Doppelpunkt, weil er zweimal durchlaufen wird.

Ich fand Deine Darstellung Lemniskate02.ggb sehr anschaulich, weil hier deutlich zu sehen ist, daß 1/4 der kompletten Lemniskatenkurve der Hälfte (1/2) einer Periodendauer einer Sinus-Schwingung entspricht.

Ich bin mir auch nicht sicher, ob bei der Darstellung Lemnsikate04.ggb der Lemniskate im Verhältnis zum Einheitskreis mit r = 1 so wirklich zweckmäßig ist.

Ich bin bisher bei meinen Überlegungen von der Inversion einer Hyperbel am Einheitskreis ausgegangen.

Siehe folgendes Bild:

4929f673f555a400ef587b492b253092

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Wenn man die Vorzeichen vom Vektor(O,B) (=vOB) "richtig" (quadrantengerecht) berücksichtigt, ergibt sich eine Sinuskurve ohne Sprünge in der X- oder der Y-Achse. Es muss mit Gegenkathete und Hypotenuse gearbeitet werden (anstelle des Winkels) und der Beginn der Lemniskate (A) muss auf den Beginn (Punkt(lemni, 0)) gelegt werden (statt fälschlicherweise auf das Ende = Punkt(lemni,1)).

Inzwischen bin ich der Ueberzeugung, dass ausschliesslich die Länge(lemni, A, B) den x-Wert von SinLP bestimmt (auch der Quadrant ist nicht bestimmend) und somit die Perioden-Länge von sinL (nicht normalisierte, rote Sinuskurve der Lemniskate) immer genau dem vollen Umfang der Lemniskate entspricht

PeriodenLänge Lemniskaten Sinus =Länge(lemni, Punkt(lemni, 0), Punkt(lemni, 1))

------------------------------------------------------------------------------------------------

Note: Der Unterschied zum Sinus im Einheitskreis besteht darin, dass in meiner Lösung für SinLP nicht nur die Gegenkathete sondern auch die Hypotenuse vorzeichenbehaftet sein muss. Damit ergeben sich 4 statt nur 2 Vorzeichenkombinationen. Hier könnte ein Zusammenhang mit den erwähnten "2 Perioden" im Wikipedia-Artikel bestehen.

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Ich denke, du hast vom Grundsatz her recht.

Die Wikipedia-Formulierung "Im Gegensatz zum Sinus hat also der lemniskatische Sinus sl zwei Perioden 2ω und 2ω, ebenso die Funktion cl. " bezieht sich nicht auf eine Verdoppelung der Frequenz, sondern nur auf die mögliche Darstellung mit reellen Zahlen und eine optionale Darstellung mit imaginären Zahlen.


Bei meinen Überlegungen bin ich davon ausgegangen, daß der Einheitskreis eine feste Größe ist und nicht einen variablen Durchmesser hat (nicht x² + y² = r², sondern x² + y² = 1² da sich die Funktionen sin() und cos() auf den Einheitskreis beziehen).

Der Umfang des Einheitskreises wird in der Folge mit 2π konstant.


Ich bin in meinen Gedanken auch von einem Startpunkt (0,0) der Lemniskate ausgegangen, nicht von Deinem Startpunkt A. Dadurch wird einen Phasenverschiebung zwischen sin() und sl() vermieden.

Das spielt aber alles eine untergeordnete Rolle bei den Betrachtungen zur Frequenz.


Wichtiger scheint mir der Einfluß der Größe der Brennpunkte der Lemniskate zu sein. Bei meinen geometrischen Darstellungen hatte ich diese immer auf (±√2,0) festgelegt.

Deine variable Darstellung mit r (Formel a) zeigt, daß die Periodendauer von sl() von diesem Wert abhängt und die "Frequenz" bestimmt.


Eine Normalisierung des Lemniskatischen Sinus würde dann bedeuten, daß der totale Umfang der Lemniskate (über alle vier Quadranten) in Bezug zu der Zahlengröße der Brennpunkte zu stellen wäre.

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Hier noch die Normalisierung.

Die Erweiterung von Version 05 mit Normalisierung (Version 06) ist relativ trivial und kann bereits beim Punkt SinLP aufsetzen (mittels Faktoren), sodass die Herleitung über die Punkte der Ortslinie nicht mehr notwendig ist.

.

Note: eigentlich ist alles zwischen sin(x/r) und sinL analog/synchron (auch der Startpunkt). Einzige Ausnahme ist das Vorzeichen bei der Hypotenuse (und natürlich dass der Kreis bei der Lemniskate "überschlagen/verdreht" ist und einen grösseren Umfang hat als der entsprechende Kreis)

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Ich bin beeindruckt. Rami ist der Größte!

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Hallo Rami und Michael,

ich kann den ggb-File leider nicht richtig über "Grafik-Ansicht als animiertes GIF" exportieren.

Woran liegt das?

Wie kann ich das Bild, das ich als animierte Darstellung des ggb-Files sehe nicht in der gleichen Weise als animierten GIF-File abspeichern?

Weshalb ist die Animation des GIF-Files nicht genauso wie bei dem ggb-File?

Ich habe versucht, den ggb-File zu verändern, hatte aber leider keinen Erfolg auf Grund meine begrenzten Erfahrung und Kenntnisse.

Kann einer von Euch mir helfen?

Ich möchte im GIF-File die Gleiche Animation wie bei GGB-File erzielen.

Gruß, Otto

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Is the animation controlled from a single slider? Which file?

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Yes, it is controlled from a singel slider.

I attached originally two files to my message, the ggb-file and the GIF-file.

I try it again and attache the ggb-file only.

Please export by yourself and you will see the differences.

Otto

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Which should control the animation? vOB_{LEN∓} has animation on and the slider is r

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vOB should control the animation.

r = 1 should be constant.

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Create an additional slider (tt)

  • min=0, max=2pi increment=2pi/360
  • increasing

Script onUpdate tt

  • SetValue(B, lemni(tt))

Initial:

  • Animatio B = OFF
  • tt=0

Start Menu/Export/animatedGIF with the parameters

  • Slider tt=0
  • Time between frames about 40ms
  • as Loop=yes
  • Click Export
  • wait, have a cup of coffee

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Hi Michael and Rami,

I had a cup of coffee (and a shower) in the morning.

Meanwhile GeoGebra exported an animated GIF-file with a dynamic picture as expected (with some surprise about the size of the file of 14.9 MB).

Does exist options to reduce the size of the generated GIF-file?

Thanks for your help!

Thankfully, Otto

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To reduce the size either

  • make the window smaller
  • reduce the number of frames (change the slider step)
  • or convert to mp4 after export


    @rami: B=Point(lemni, tt) is simpler

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I reduced the size of the frame and changed some of the items on "hidden".

Result:

- animated GIF-file size reduced from 14.9 MB on 10 MB,

- reduced the 10 MB file on 0.544 MB by mp4 format conversion.

Amazing!

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© 2020 International GeoGebra Institute