Risoluzione di un sistema 3 equazioni, 3incognite.

picluigi shared this question 2 years ago
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Sto effettuando lo studio dei sistemi elettrici trifase.

E' noto che una terna di vettori complanari A1,A2,A3 applicati all'origine (0,0) di un sistema si assi cartesiani e aventi modulo ed argomento diversi, sono scomponibili in 2 terne di vettori simmetrici e una terna di vettori omopolari.


La prima terna simmetrica, detta diretta, è: Ad+(a^2)*Ad+a*Ad=0

La seconda terna simmetrica, detta inversa, è: Ai+a*Ai+(a^2)*Ai=0

La terna omopolare è: Ao+Ao+Ao=3Ao

a=e^(i*2/3*pi) detto fattore di rotazione dei vettori di 120° in senso positivo.


Da cui: A1 = Ao + Ad + Ai

A2 = Ao + (a^2)*Ad + a*Ai

A3 = Ao + a*Ad + (a^2)*Ai


Da questo sistema di tre equazioni lineari in Ao,Ad,Ai si ottiene,

Ao=1/3 (A1 + A2 + A3)

Ad=1/3(A1+a*A2+(a^2)*A3)

Ai=1/3(A1+(a^2)*A2+a*A3

Detto questo, che molti conosceranno a menadito e verso i quali mi scuso, chiedo se sia possibile impostare con GeoGebra (che poco conosco ma che molto apprezzo) un facile sistema di calcolo di Ao, Ad, Ai conoscendo A1,A2,A3 in modulo e fase.

Grazie. Un saluto a tutti.


Comments (4)

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Ciao,

mi rendo conto che l'esempio che ti allego ha valori a caso, probabilmente senza senso per le tue applicazioni, visto che io e l'elettricità abbiamo molto poco in comune, (a parte una sottile agitazione di base hehehe) però quello che conta è che tu hai a disposizione la struttura per i tuoi calcoli.

In pratica, nel CAS ho definito A1,A2 e A3 con valori a caso, poi nelle righe successive ho inserito le tue equazioni risolventi.

Ogni volta che modifichi i valori di A1, A2 e A3 i valori corrispondenti di Ao, Ad e Ai si aggiornano di conseguenza.

Può andare?

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Grazie Simona, sempre molto esaustiva. Ciò che hai fatto è perfetto, proprio come desideravo.

Ho provato ad inserire tre vettori A1,A2,A3 con modulo e argomento scelti a caso e rappresentati nella forma esponenziale con la formula di Eulero:

A1:=4

A2:=3 * ℯ^(ί*1 / 5 * π)

A3:=4 * ℯ^(-ί*1 / 3 * π)

Ho ottenuto in uscita Ao,Ad,Ai.

Per verificarne l'esattezza ho sommato: A1+(a^2)*A2+a*A3 ottendo come risultato 3*Ai

Con la stessa procedura ho ottenuto 3*Ai e 3*Ao, proprio come la teoria vuole e come, poi, si riscontra anche in pratica.

Queste procedure sono molto utili per studiare una rete trifase sottoposta a guasto. Questi fenomeni si valutano osservando gli oscillogrammi (A1,A2,A3) che vengono registrati in impianto. E ne ho visti tanti! Ma senza queste elaborazioni si fatica a capire cosa sia successo e perchè. Dunque, viva la matematica, viva GeoGebra naturalmente senza nulla togliere a Sua Maestà l'Elettrotecnica. Un abbraccio a Simona.

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Ciao,

forse questo file sia utile


Si puo cambiare i valori di A1, A2, A3, e a si muove i punti...

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Grazie anche a Juan Carlos il cui suggerimento permette di trattare tutti i vettori in gioco utilizzando la più scolastica forma cartesiana con la loro rappresentazione grafica già impostata.

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