Nombre minimal de conditions pour être un carré

Rousseau-Wallon shared this question 6 months ago
Answered

Bonsoir,


Combien faut-il au minimum de conditions sur un quadrilatère pour qu'il soit un carré ?

À mon avis c'est 3, par exemple : diagonales perpendiculaires + diagonales se coupant en leur milieu + deux côtés consécutifs perpendiculaires.


Mais est-ce bien sûr que 3 soit le minimum ?


J'ai essayé : aire = un côté au carré + diagonales perpendiculaires, mais j'ai trouvé un contre-exemple. Ou bien : aire = un côté au carré + 2 côtés consécutifs perpendiculaires, marche pas non plus.


Deux nombres suffiraient à caractériser un carré ? Par exemple : aire / côté^2 =1 & moyenne des côtés / côté = 1 ?

Pourquoi 3 serait le minimum ? Comment peut-on l'expliquer ?

Comments (23)

photo
1

Mathématiquement : "diagonales perpendiculaires + diagonales se coupant en leur milieu" sont nécessaires et suffisantes !

photo
1

euh faut rajouter : diagonales de même longueur

donc 3 conditions


perdu

photo
1

essai (que veut dire "condition" ?) :

tous les sommets sur le même cercle

+

diagonales perpendiculaires

=

https://www.geogebra.org/m/...


...

photo
1

Perdu

ces deux conditions peuvent donner un cerf volant qui ne soit pas carré.

Encore la constatation qu'une appli proposée peut cacher une ''condition'' initiale (les points de l'appli forment toujours un parallélogramme).

...

photo
photo
1

Oui bien vu c'est quoi une condition ?


Ton essai a bien 2 conditions seulement : 3 points non alignés sont toujours sur un même et unique cercle, reste à savoir si le quatrième point du quadrilatère est sur ce cercle, donc 1 condition. Tout ça est calculable à partir des coordonnées des 4 points.


Diagonales perpendiculaires : 2ème condition, calculable avec un produit scalaire. Là aussi un nombre à partir des coordonnées des 4 points.

photo
1

quoique.. peut-être pas..

comment on fait pour savoir quelles sont les diagonales ?

ça fait une condition en plus ça non ?

photo
1

Salve.

Non so che cosa esattamente si voglia ottenere. Forse può essere utile un lavoro prodotto a più mani (qui nel vecchio forum, alcuni messaggi sono purtroppo stati cancellati) sui quadrilateri, che avevo tradotto in italiano.

photo
photo
1

scusate se dico la mia, ma credo che le 2 condizioni perche' un quadrilatero sia un quadrato è che deve avere tutti i lati uguali e i lati consecutivi perpendicolare fra loro.

se è un'eresia non mi maltrattate.

photo
1

En fait une seule condition suffit !

C'est facile de voir qu'on peut arriver à 3 conditions seulement. Appelons-les a, b et c.

On peut trouver une expression algébrique pour chacune d'elles, en fonction des coordonnées des 4 points (avec le produit scalaire par exemple).

On peut aussi supposer que : ABCD carré si et seulement si a = 0 et b = 0 et c = 0.

Alors a^2 + b^2 + c^2 = 0 est une condition nécessaire et suffisante pour que ABCD soit un carré.


Cette dernière expression est certainement très pénible à trouver, mais elle existe bien.


Concrètement utiliser des conditions sur les longueurs me semble mal aisée, car on ne sait pas si le segment est un côté ou une diagonale. Je pense que ces deux conditions marche : cocyclicité des 4 points + maximalité de l'aire du quadrilatère, et c'est facile avec GGB.

photo
2

J'ai du mal à comprendre comment une condition peut être mise au carré !?

Pour moi une ''condition'' c'est ''true'' ou ''false'', c'est à dire ''0'' ou ''1''.

Or :

0²=0 et 1² = 1

Donc :

Quel est l'intérêt de proposer un calcul avec une ''condition'' au carré ?

...

''On peut aussi supposer que : ABCD carré si et seulement si a = 0 et b = 0 et c = 0. ''

Cela fait donc 3 conditions...

Et on en revient à :

''Oui bien vu c'est quoi une condition ? ''

Si effectuer un calcul booléen suffit à minimiser la solution à une seule condition, alors ...

...on peut résumer LA condition en UNE seule phrase :

''Un carré est un quadrilatère régulier.''

...

photo
1

Oui je me suis mal exprimé, j'ai parlé de condition pour la formule qui lui correspond.

Et on peut bien mettre des formules au carré, l'intérêt étant que a^2 + b^2 = 0 ssi a = 0 et b = 0.

On s'est donc ramené à une seule condition.

Bon c'est vrai que a b = 0 fait l'affaire.


Pour ma figure minimal.ggb ci-dessus la condition est OA = OD et aire = 2 OA^2,

où O est le centre du cercle circonscrit à ABC.

Elle est équivalente à (OA/OD - 1) = 0 et (aire / OA^2 - 2) = 0.

Une condition nécessaire et suffisante pour que ABCD soit un carré est donc :

(OA/OD - 1)^2 + (aire / OA^2 - 2)^2 = 0,

ce que l'on peut considérer comme la fonction indicatrice des carrés.


Oui, résumer en une phrase donne LA condition.

Mais une expression avec des mots ne correspond pas toujours à une condition calculable.


Bon pour terminer je dirais que pour être un carré deux conditions élémentaires suffisent.

Mais une ça m'étonnerait.

photo
1

et peut-être bien que les conditions "élémentaires" correspondent aux polynômes P(x1,y1,.....,x4,y4) qui sont irréductibles ?

et qu'à chacun de ces polynômes irréductibles corresponde une construction géométrique (droites perpendiculaires, égalité de longueurs, aire, etc) ?

photo
photo
1

quali sono gli elementi noti?

photo
1

i quattro punti

photo
1

forse basta tracciare le rette passanti per i punti estremi di ciascun lato e parallele tra loro.

photo
1

Est-ce que le fait de dire tout simplement que si la relation suivante est vérifiée,

alors le quadrilatère est un carré ? :

Aire du quadrilatère = (Moyenne des côtés)^2

photo
photo
1

Belle formule

ça se pourrait bien, et ce serait super !

en tous cas je ne trouve pas de contre-exemple


mais comment faire pour le prouver ?

il y a une formule pour l'aire d'un quadrilatère à partir des coordonnées des sommets,

avec un déterminant :

aire = abs(x1 y2 - x1 y4 - y1 x2 + y1 x4 + x2 y3 - y2 x3 + x3 y4 - y3 x4) / 2

mais je vois pas comment l'utiliser


il y a aussi, pour des points cocycliques sur le cercle unité : aire = demi-somme des sinus des angles au centre

photo
1

Il existe une relation caractérisant la propriété de cocyclicité des sommets d'un quadrilatère qui permettrait d'eliminer le cas du losange avec ses quatre côtes égaux :

Ptolémée — Soient quatre points A,B,C et  D situés sur un même plan. A,B,C et D seront situés sur un même cercle et dans cet ordre si et seulement si les distances entre eux satisfont la relation :

         AC.BD=AB.CD+BC.AD.

photo
1

tu parles du losange à cause de : ABC tel que AB + BC constant est d'aire maximale ssi AB = BC c'est ça ?

photo
1

je pense que ça marche c'est super

photo
photo
1

con riferimento alla formula generica aire = abs(x1 y2 - x1 y4 - y1 x2 + y1 x4 + x2 y3 - y2 x3 + x3 y4 - y3 x4) / 2 ho sostituito alle x e y le coordinate dei punti A1, D2, C3 e B4 prese in senso orario.

vedi allegato

photo
1

il y a aussi une formule du même type pour un polygone à n côtés,

et c'est très certainement comme ça que GGB calcule l'aire

photo
photo
1

La condition de Seror marche, et on peut le démontrer sans la propriété de Ptolémée.

(1) : XYZ tel que XY + YZ constant est d'aire maximale pour XY = YZ.

(2) Soit donc un quadrilatère Q = ABCD tel que aire (Q) = (moyenne des côtés) ^2.

Avec (1) on peut construire un cerf-volant Q' = AB'CD' d'aire >= celle de Q en prenant AB' = B'C et AD' = D'C, et cela en gardant la moyenne des côtés inchangée.

(3) Un raisonnement sur les bases et hauteur du triangle B'CD' montre que l'aire de ce cerf-volant est plus petite que celle du losange dont la moyenne des côtés est la même.

(4) Il est facile aussi de montrer que l'aire de ce losange est plus petite que celle du carré dont la moyenne des côtés est la même.

(5) Pour une moyenne des côtés donnée, c'est donc le carré qui a la plus grande aire. Si un quadrilatère a cette aire-là, il est donc carré.

© 2019 International GeoGebra Institute