Lemniskate - Fläche

Otto shared this question 2 years ago
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Wie berechne ich die Fläche einer Lemniskate (wie ein Unendlich-Zeichen) bzw. wie kann ich diese Fläche schraffieren?

Gleichung a: (x² + y²)² - 2 (x² - y²) = 0

Comments (10)

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Hi, with the cartesian type it isn't the easiest but we can (except the last integral with the cas)

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Maybe using NIntegral() for the last step:


2*NIntegral(sqrt(-x² + sqrt(4x² + 1) - 1),-sqrt(2),sqrt(2))

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Hi Michel and Michael,

Thanks for your comments for calculation of the area of the lamniscate. But, do you have an idea to hatch the area included by the lamniscate curve?

I'm not so familiar with geobra. Therefore a second question:

How could I calculate the included area by the parametric curve of a lamniscate?

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Please post the .ggb file :)

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I posted the forum.ggb again and discovered the graphic window with the lamniscate curve when I maximized the window on my screen.

Concerning LocusLem.ggb I was surprised for the command "Ortslinie" and how it works.

Thanks for your quick response and help.

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Ergänzung zu Noel Lambert

Beachte: Erstes(lieu1, Länge(lieu1)) erzeugt aus dem Lokus (lieu1) eine Punkte-Liste

Das Zumischen der Grenz-Punkte (0,0) und (sqrt(2),0) verbessert die Genauigkeit erheblich.

Die Beschränkung auf den 1. Quadranten vereinfacht die Sortierung.

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Ich bin erstaunte, was GeoGebra alles kann!

Davon hatte ich bisher keine Ahnung.

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Noch eine zusätzliche Frage an die Mathematiker von Euch und etwas Hintergrundinformation zu meiner ursprünglichen Frage:

Die Einheits-Lemniskate ist die Spieglung der Einheits-Hyperbel y = 1/x an dem Einheits-Kreis x² + y² = 1 .

Das Integral der Hyperbel zwischen 1 und ∞ hat den Wert ∞,

Auch die Fläche oberhalb der Hyperbelkurve ist unendlich groß

Als Kehrwert dieser Flächen mit dem reziproken Wert 1/∞ wäre eigentlich Null zu erwarten.

Aber die Fläche der Lemniskate ist nicht 0 sondern 2*1.

Meine Frage: Warum?


Meine Gedanken dazu:


Die Orientierung (Umlaufsinn) der Lemniskate ist umgekehrt zur Orientierung der Hyperbel.

Wenn ich die x-y-Zeichnungsebene mir als Kugeloberfläche vorstelle mit (0,0) als Zenit, dann verlaufen die Hyperbeläste von (1,1) über den Äquator bis zum Nadir.

In der x-x-Ebene enden die Äste im Unendlichen. Auf einer Kugeloberfläche jedoch kreuzen sich die die Hypebeläste im Nadir und kehren zum Zenit zurück.

Im Zenit kreuzen sich die Kurven nicht, sondern passieren (0,0) im Abstand (1,1) und (-1,-1).

Die Hyperbelkurve stell ich mir als ein Faden vor, der einen großen Kreis bildet, aber zu einem Doppelkreis zusammengelegt ist, welcher sich im Nadir überkreuzt.

Die Ansicht der Hyperbel vom Nadir aus ergibt die Lemniskate.

Folgende Einzelheiten haben mir bei der Beantwortung meiner Frage leider nicht geholfen_

- Die Fläche unterhalb der Kurve y=1/x zwischen x = 1 und x = e hat den Wert 1.

- Die Fläche unterhalb der Kurve y=1/x zwischen x = 1 und x = ∞ hat den Wert ∞.

- Der Ratationskörper der Kurve y=1/x um die x-Achse zwischen x = 1 und x = ∞ hat jedoch den Wert π,

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Hi Otto!


Ich glaube nicht, dass dieser Ansatz wirklich zielführend ist.

Es sollte wohl eher über die Polardarstellung der Lemniskate und das zugehörige Integral einer Funktion laufen, die über einen Winkel parametrisiert ist.

Da müsste ich aber selbst nochmal nachrechnen.


Außerdem verwundert es ja nicht ganz, dass da ein endlicher Wert bei rauskommt, denn Du kannst Dir ja auch vorstellen, dass das Kreisinnere an der Kreislinie durch den Mittelpunkt gespiegelt wird und dann hast Du auch gleich die ganze Ebene ohne das Kreisinnere oder die stereographische Projektion einer Kugeloberfläche durch einen Pol auf die Ebene.

Dort wird dann umgekehrt eine endliche Fläche (Kreisinneres, Kugeloberfläche) auf was "unendlich Großes" (die Ebene ohne Kreis bzw. die komplette Ebene) und umgekehrt auch abgebildet.

Es wird ja nicht gesagt, dass diese Spiegelungen Isometrien oder mit einem konstanten Faktor multiplizierte Isometrien sind.


Gruß

mire2

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Hi mire2,

zum einfacheren Verständnis noch eine graphische Darstellung.

Die Hyperbel y = 1/x und gespiegelte Lemniskate sind Grün dargestellt (einschließlich der gespiegelten Brennpunkte).

Die Hyperbel y = 0.5/x und gespiegelte Lemniskate sind Blau dargestellt (einschließlich der gespiegelten Brennpunkte).

Gruß, Otto

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