Kurve gesucht

Auer shared this question 5 years ago
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Hallo zusammen,


ich stehe gerade auf dem Schlauch…

In folgender Datei versuche ich eine Kurve durch den Punkt D zu legen, scheitere jedoch daran.

Der y-Achenabschnitt zeichnet den Abstand von P zu Q und der x-Achsenabschnitt die Dreieckssehne ausgehend von P nach Q im mathematisch positiven Sinne.


Viele Grüße

Alexander

https://ggbm.at/566597

Comments (29)

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Hallo Alexander


Wie im Anhang entweder als Funktion f(x) oder als Ortslinie DO resp DqO (für die ich keine Funktion habe, das wär was für ...).


Raymond

https://ggbm.at/566599

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Hallo Alexander,


die Kurve besteht aus Geradenstücken und Teilen von verschobenen Parabeln (Satz des Pythagoras).

Da PQ die Sehne ist, habe ich als y-Wert PQ genommen und als x-Wert den Umfang von P nach Q des Dreiecks im UZS:

https://ggbm.at/566601

Viel Spaß


Gerhard

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Hallo Alexander,


es sind keine Parabeln!


Gerhard

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Es sind - wie gesagt - keine Parabeln, sondern Hyperbeln:

https://ggbm.at/566603


Gerhard

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Vielen Dank!

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Hallo allerseits


Es hat mit der ursprünglichen Fragestellung nichts zu tun.

Es hat mich nur gereizt eine Lösung für den Bogen (Umfang) zu finden, der ohne Wenn[] Konstrukte arbeitet, sodass man die Aufgabenstellung auch auf beliebige n-Ecke erweitern könnte (mittels Pfadparameter ist das möglich).


Raymond

https://ggbm.at/566611

https://ggbm.at/566613

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Hallo Raymond,


in deiner C-Datei stimmt etwas für den Fall, dass P und Q auf der gleichen Strecke liegen, nicht.


Viele Grüße

Alexander

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Hallo Alexander,


Stimmt (im Falle von linksdrehend Q,P).

Ich mach mich dann etwas später an die Fehlerkorrektur.


Raymond

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Hallo Alexander,


Besten Dank für den Feedback.

Nun sollte auch die Version mit LiegtImBereich[] stimmen (so hoffe ich doch).


Raymond

https://ggbm.at/566615

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Hallo Raymond,


Du kannst auf PQrechts und LiegtImBereich[] komplett verzichten, wenn Du nur die Punkte in die Liste aufnimmst, die mit P und Z einen kleineren Winkel bilden als Winkel[P,Z,Q] (das Sortierkriterium für BP_2/4):

https://ggbm.at/566619


In deiner Datei Forum_35673_D.ggb ergibt sich für P=Q auf einem Eckpunkt:

Sehne = 0; Bogen = 20.78 (2 Seiten im Dreieck), richtig wäre ebenfalls Bogen = 0.

Oder P=Q irgendwo:19b7c3803b03b28b1dd926f8aacb61eb


Gerhard

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Hallo Raymond,


ich habe noch einen Fehler in Deiner Datei Forum_35673_D.ggb gefunden:

Wenn P und Q auf zwei verschiedenen Eckpunkten des Vielecks liegen, ist der Bogen genauso lang wie die Sehne:f53b7db47641afb352af0e814eff83e6Ich hoffe, Du findest mich nicht nachtragend ...


Gerhard

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Hallo Gerhard


Einmal mehr mache ich die Erfahrung, dass sobald man bei einem bestimmten Lösungsansatz tricksen muss, man sich sehr rasch verheddert.

Dein Lösungsansatz basierend auf den Winkeln ist um einiges klarer und einsichtiger.

Kein Trost ist es mir, dass ich spätestens beim Sortieren der Liste eigentlich selbst hätte darauf kommen können.


Deine Intuition für Grenzfälle (beim Testen) finde ich ausgezeichnet, warum sollte ich Dir darob nachtragend sein.


Aus meiner Sicht ist das Thema mit Deiner Lösung hervoragend abgeschlossen. Der Vollständigkeit halber noch Deine Lösung "entrümpelt" vom Lösungsansatz LiegtImBereich[] als Version F.


Raymond

https://ggbm.at/566621

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Hallo Raymond,


das Sortierkriterium hat mich erst auf den Lösungsansatz gebracht.

Man könnte das ganze auch auf beliebige Vielecke anwenden

https://ggbm.at/566623

aber da bleibt dann die Bedeutung der Sehne ...


Gerhard

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Hallo Gerhard,


eine schöne Lösung für das Z. Hier noch eine Alternative dazu, die vermutlich auch funktionieren könnte:

Z' = Massenmittelpunkt[EP, Folge[1, n, 1, Länge[EP]]]


Der Spur nach habe ich das Erkennen von konvex und konkav verstanden, aber nicht wirklich.

Kannst Du mir mit wenigen Sätzen auf die Sprünge helfen?


Nachtrag

Die Frage hat sich erledigt.

Der Mittelpunkt zwischen einem bestimmten Punkt und dem übernächsten Punkt liegt im Vieleck oder eben nicht.

Verwirrt hat mich der mod[], der dafür sorgt, dass der vorletzte punkt plus 2 zum 1 Punkt in der Liste wird.

Spontan hätte ich diese Problemstellung mit dem Innen-Winkel grösser 180° zu lösen versucht.


Raymond

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Hallo Raymond,


eigentlich heißt ein Vieleck V konvex, wenn zu je zwei beliebigen Punkten in V auch die Verbindungsstrecke der beiden Punkte ganz in V liegt.

Ich habe mich auf den Mittelpunkt zweier nicht benachbarte Eckpunkte beschränkt (und da auch nicht alle); ob das allgemein gültig ist, weiß ich nicht.

Auf jeden Fall muss man auch die letzten beiden Punkte mit dem jeweils zweitnächsten in der Liste prüfen, deshalb Mod[].

Man hätte auch jeden Punkt mit jedem anderen (außer sich selber) prüfen können.


Da der Schwerpunkt eines Vielecks kann auch schon mal außerhalb des Vielecks liegen kann, hatte ich diese Alternative verworfen.

    Z' = Massenmittelpunkt[EP, Folge[1, n, 1, Länge[EP]]]

muss ich mal genauer ansehen, das verstehe ich auf Anhieb nicht.


Was mich noch interessiert hat, war ob und wie man auch im Uhrzeigersinn den Umfang erstellen kann.

Man kann:

https://ggbm.at/566627

und kann auch umschalten.


Danke für die Anregungen!


Gerhard

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Hallo Gerhard,


Das ginge auch mit der Multiplikation des Winkels mit 1 resp -1.

Allerdings: seit in GGB Winkel grösser 360° erlaubt sind, müssen unbenannte Ausdrücke/Variablen in diesem Fall explizit per Mod[] "nachbehandelt" werden.

Ich habe in der Farbe grün und jeweils mit dem Suffix "2" alle Befehle (als zusätzliche Objekte) auf die Vorzeichenmethode umgestellt. Vorsichtig formuliert: es scheint zu funktionieren.


Was besser/schöner ist, scheint mir Geschmackssache zu sein.


Raymond


PS:

In meinen Längen-Graden ist es Zeit mich schlafen zu legen. Ich schau dann Morgen (bei Dir spät Abends) wieder in diesen Tread rein.

https://ggbm.at/566629

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Hallo Raymond,


in der Tat geht es auch mit der Multiplikation +/-1.

Was "schöner" ist

    Wenn[0 < Mod[Winkel[P, Z, p] UZSsgn + 360°, 360°] < Ω2

    Wenn[0 < Wenn[iUZS, Winkel[p, Z, P], Winkel[P, Z, p]] < Ω

ist tatsächlich Geschmackssache.


Mit den Winkeln in GGB habe ich auch meine Probleme, da GGB aus einer Konstruktion nur positive Winkel (Winkel[P,S,Q] oder Winkel[v_1,v_2]) angibt und keine Information darüber, ob P,S,Q ein Rechtssystem oder Linkssystem bilden. Ich benutze da Vektor[S,P] ⊗ Vektor[S,Q] bzw. v_1 ⊗ v_2, um um den Drehsinn zu erkunden.


Ich habe jetzt auch den Massenmittelpunkt verstanden und eingebaut.

Es scheint aber völlig egal zu sein, welchen Punkt man als Referenzpunkt nimmt, er kann auch außerhalb des Vielecks liegen.


Danke nochmals für Deine hilfreichen Anregungen.


Gerhard

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Hallo ihr beiden,


um nun den graphischen Zusammenhang zwischen Abstand PQ und dem Streckenzug der Sehne z.B. für das Quadrat zu erhalten, geht man da ebenfalls mit Hilfe des Satzes von Pythagoras vor, analog zum Dreieck? Oder gibt es hierfür eine andere Vorgehensweise?


Viele Grüße

Alexander

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Hallo Alexander,


die Gleichung der Teilhyperbel an dem letzten Eckpunkt E vor Q (von P aus) erhält man über:43b1f1ba28ca141b99a312e74a535d63hierbei ist U_E die Länge des Umfangs von P bis E.

Hier noch mal eine Datei zum Anschauen:

https://ggbm.at/566633


Ich hoffe, das hilft.


Gerhard

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Hallo Gerhard,


vielen Dank! Das ist genau das was ich suchte!


Viele Grüße

Alexander

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Hallo Alexander,


hier noch die letzte Version mit den Hyperbelgleichungen für das n-Eck

https://ggbm.at/566647

Damit ist das Thema wohl erledigt.


Gerhard

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Hallo zusammen,


hier schließt sich noch eine Frage an, die zu dem Thema passt:

Für ein beliebiges (nicht gleichseitiges) Dreieck , auf dem die Punkte P und Q liegen, möchte ich neben dem Gesamtgraphen auch noch den "Teilgraphen" zeichnen, der nur den bereits zurückgelegten Umfang (von P zu Q betrachtend) berücksichtigt. Gibt es dazu eine einfachere Umsetzungsmöglichkeit, als über sämtliche WENN-DANN-Befehle zu gehen?


Viele Grüße

Alexander

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Hallo Alexander,


das

https://ggbm.at/566939

ist zwar für ein Vieleck, aber darin ist der Streckenzug U_{PQ} bzw. die Punktliste LPQ enthalten.


Was meinst Du mit

Gibt es dazu eine einfachere Umsetzungsmöglichkeit, als über sämtliche WENN-DANN-Befehle zu gehen?


Gerhard

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Hallo Gerhard,


vielen Dank für die Datei. Mein Teilgraph soll von der Ortslinie o nur den Teil vom Ursprung bis zum Punkt R zeichnen. Wie kann ich das am besten umsetzen? Meine Idee war per WENN-DANN, sofern das nicht zu aufwändig wird.


Viele Grüße

Alexander

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Hallo Alexander,


du brauchst


Neuer Punkt: Q' Punkt auf U_{PQ}

Im folgenden ersetze Q->Q'

Sehne' analog zu Sehne (oder Sehne ändern)

Neuer Winkel: Ω' analog zu Ω

Im folgenden ersetze Q->Q', Ω->Ω'

LPQ' analog zu LPQ

U_{PQ}' analog zu U_{PQ}

R' analog zu R

o' analog zu o


Alle nicht benötigten Elemente ausblenden.


Das war's.


Gerhard

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vielen Dank Gerhard! Das ist wirklich sehr viel eleganter, als die Hyperbelfunktionen abschnittsweise zu definieren.

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Hallo Gerhard,


kannst du mir bitte noch kurz erklären, wofür die Abkürzungen der Listen stehen?

Bin gerade dabei, deine Konstruktionsschritte anhand des Konstruktionsprotokolls nachzuvollziehen. Einige Befehle sind noch neu für mich. Beim Nachkonstruieren für ein Dreieck ABC ist die Liste sp leer, wodurch Z‘ undefiniert ist. Weitere Konstruktionsschritte können dadurch nicht ausgeführt werden.


Viele Grüße

Alexander

https://ggbm.at/566967

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Hi Alexander,


da meine Lösung für beliebig viele Ecken gelten, muss ich einen Fall wie Vieleck1 (s. Anhang) ausschließen.

Bei drei Eckpunkten kann das nicht passieren, d.h. man kann mit der ursprünglichen Liste LP der Punkte arbeiten (ansonsten müsste man die Eckpunkte in die richtige Reihenfolge bringen).


Hier die Datei für ein Dreieck:

https://ggbm.at/566969

da ist es einfacher.


Gerhard

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Hallo Gerhard,


vielen Dank für die Erklärungen und Beschriftungen. Jetzt kann ich die Konstruktionsschritte nachvollziehen. :)


Viele Grüße

Alexander

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