Hyperbel auf der Oberfläche einer Kugel

Otto shared this question 2 weeks ago
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Ich möchte die Hyperbel y = 1/x der x-y-Ebene auf der Oberfläche einer Kugel räumlich (x,y,z) darstellen.

Der Punkt (x.y) = (0,0) soll sich am Nordpol befinden und (x,y) = (∞,∞) am Südpol der Kugel.

Ist das mit GeoGebra möglich?

Ich habe in der Hilfe die "Stereographische Projektion 2" von Georg Wengler gefunden, konnte damit mein Problem aber leider nicht lösen.

Comments (10)

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basicamente lo que desea es que (0,0) y (a,a) se representen sobre puntos antipodales pues lo siguiente sería un simple giro sobre una recta

pero no dices si la proyeccion se debe hacer con la proyeccion estereografica


hay muchas posibles formas de proyectar el plano sobre una esfera; tantas como formas hay de hacer un mapa del mundo

por ejemplo una proyeccion cilindrica (enrrollar el plano alrededor de la esfera y unir cada punto con el centro) incluso cada procedimiento tiene muchas formas de hacerse segun se desee tratar la zona del infinito

creo que se debe especificar más el problema

adjunto un intento inicial para dar una idea del proceso

Files: foro.ggb
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Ich dachte an eine "Stereographische Projektion" als Abbildung einer Kugeloberfläche auf eine Ebene, analog der Riemannschen Zahlenkugel mit einem Projektions-Zentrum am Nordpol.

Die Hyperbel-Äste von y = 1/x verschwinden im Unendlichen im x-y-Koordinatensystem.

Auf der Oberfläche einer Kugel jedoch kreuzen sich diese Hyperbel-Äste im Südpol.


Ich vermute, dass die Projektion der Hyperbel auf der Kugeloberfläche in eine x-y-Ebene eine Lemniskate ergibt, (Die Lemniskate ist das Spiegelbild einer Hyperbel, an einem Kreis gespiegelt.)

Der Punkt (0,0) der Lemniskate entspricht gespiegelt dann dem Bereich (∞,∞).


https://de.wikipedia.org/wiki/Stereografische_Projektion

https://de.wikipedia.org/wi...

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it depends of projections method

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Großartig!

Die Darstellung foro1.ggb überrascht mich.

Gibt es einen "dynamischen" Zusammenhang zwischen der Hyperbel-Kurve und de Lemniskaten-Kurve?

Wie würde sich ein "bewegter" Punkt A auf der Lemniskate (orange) auf einen Punkt auf der Hyperbel (grün) auswirken?

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Hi mathmagic,

Ich habe noch einmal nachgedacht über Deine Darstellung "foro1.ggb".

Es trifft nicht den Kern meiner Frage. Ich suchte nach der Hyperbel-Kurve auf auf der Kugeloberfläche.

Ich bin einen ähnlichen Weg gegangen wie Du.

Dabei fand ich nur einen Schnitt durch verschiedenen ineinander geschachtelte Tori.

Hier trennt ein Hyperboloid (rote Linie), mit der Kreisebene B1'-B''-O-B'-S-B, zwei Gebiete (rot und blau markiert) mit verschiedenen Ring-Tori. Die Kurven sind Cassinischen Kurven und deren Spiegelung am Einheitskreis c (bzw. Kugel mit dem Radius 1).

Eine Darstellung einer Hyperbel auf einer Kugeloberfläche habe ich damit leider nicht gefunden.

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I did not find a representation of a hyperbole on a sphere surface.


la hiperbola es un conjunto cerrado pero no compacto en el plano, cualquier endomorfismo del plano a la esfera convertirá los conjuntos cerrados en compactos y por tanto la hiperbola se cerrará de alguna manera. yo creo que quieres una curva que no se cierre en la esfera y eso sería imposible

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Ich erwarte auf der Oberfläche der Kugel eine (in sich) geschlossene Kurve, wie ein Loop.

Die Kurve auf der Kugeloberfläche sollte sich im Südpol (Nadir) der Kugel in einem sogenannten Doppelpunkt kreuzen.

https://de.wikipedia.org/wi...

Es kann sein, dass die Darstellung einer Hyperbel auf der Kugeloberfläche nicht durch eine stereographische Projektion erzielbar ist, sondern andere mathematische Methoden erfordert.

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si entiendo bien eso es lo que foro.ggb hace.


A GG le es imposible cerrar el bucle porque requiere infinitos calculos, pero la curva se cierra en dos bucles en el polo, que hace las veces de punto en el infinito. Es un problema de locus que si va a infinito tiene un trozo que le falta

puedo intentar parametrizar todas la ecuaciones y dar la curva en parametricas, pero creo que es un trabajo arduo y no necesario

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no fue tanto trabajo con la wiki ayudando

y un truco para rellenar lo que falta

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Das sieht schon großartig aus.

Vielen Dank für Deinen Support.

Vermutlich ist das die einzige mögliche Lösung.

Ich hatte in meiner Vorstellung eigentlich einen Ring um den Nordpol vorgestellt, der durch den Spiegelkreis (Einheitskreis) gebildet wird. Die Scheitelpunkte der Hyperbel-Äste von y = 1/x würden also nicht den Nordpol erreichen, sondern nur den den Spiegelkreis tangieren. Dabei hatte ich an holomorphe Funktionen und konforme Abbildungen gedacht.

Das ist offensichtlich nicht möglich.

Nochmals vielen Dank für Deine Lösung!!!!!

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