Factorisation sous contrainte

Rousseau-Wallon shared this question 1 year ago
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Bonjour,

Soient p, q, r et s 4 entiers tels que :

- p et q sont premiers entre eux;

- r et s sont premiers entre eux;

- on a l'égalité : s p^2 + p q r = s q^2.

Je cherche à prouver qu'alors le nombre A = 4 s (p + q) (p s + q r + 2 q s) + (p s - q r)^2 est toujours un carré parfait.

Le CAS peut-il me donner la réponse ? Ou alors trouver un contre-exemple, mais pour l'instant je n'en ai pas.


PS : possible que les conditions "premiers entre eux" soient inutiles. Il suffit en fait de trouver l'expression de B telle que A = B^2.

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Pour commencer on peut prendre p /q = 4/ 6, r / s = 5/6.

Le bouton VERIFIER permet de tester l'égalité : s p^2 + p q r = s q^2.

Le CAS donne alors les valeurs de deux fractions (lignes 2 et 5) permettant d'avoir d'autres valeurs de p q r s.

(ligne 2 pour p/q, ligne 5 pour r/s). Ces deux lignes utilisent le calcul de la racine carrée de A=$1, qui est toujours entière. Et c'est ça que cherche à expliquer.


On peut prendre aussi les lignes 9 et 10 pour les fractions suivantes.


ça marche tout le temps (en tous cas je n'ai pas trouvé de contre-exemples)

Il doit sûrement y avoir une expression B telle que A =B^2

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