Ellipsenkonstruktion

ort shared this question 4 years ago
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Ich möchte eine Ellipse konstruieren, die durch eine Tangente und den Berührpunkt Ellipse-Tangente gegeben ist, ohne dabei mit einem Schieberegler "herumzuprobieren". Gibt's da eine Möglichkeit?!

Bsp: Tangente: x+3y=15 mit Tangentenpunkt P(3/4)

Comments (20)

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Wenn es eine "Formel" gibt, um aus der gegebenen Tangente und den Berührpunkt die Gleichung für die Ellipse zu bestimmen, kann man die Werte der Tangente bzw. die Koordinaten dafür nutzen!

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Danke! Aber mir ist schon klar, dass ich mit Tangentengleichung, Berührbed. die Ellipse "berechnen" kann. Ich möchte sie aber gerne rein graphisch konstruieren!

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Danke! Aber mir ist schon klar, dass ich mit Tangentengleichung, Berührbed. die Ellipse "berechnen" kann. Ich möchte sie aber gerne rein graphisch konstruieren!

Hallo,

das ist ein hoher Anspruch für eine höchst unvollkommene Aufgabenstellung.

Deine Angaben sind in mehrfacher Hinsicht unterbestimmt.

Nehmen wir mal an, dein Berührpunkt P läge sogar auf der großen Halbachse.

Dann kannst du eine Senkrechte zur Tangente durch P konstruieren, darauf (frei!) einen Brennpunkt festlegen, ebenso frei(!) einen zweiten Brennpunkt festlegen, aus der Abstandssumme zum Berührpunkt die Länge der großen Halbachse festlegen usw.

Es gibt bereits hier (abhängig von der Wahl der Brennpunkte) unendlich viele Möglichkeiten für eine solche Ellipse.

Dabei lässt die Aufgabenstellung völlig offen, ob die Berührung wirklich am Endpunkt der großen Halbachse oder an einem beliebigen anderen Punkt der Ellipse liegt.

Falls ein anderer Ellipsenpunkt der Berührpunkt ist, lassen sich durch zentrische Streckungen vom Berührpunkt aus unendlich viele weitere Ellipsen erzeugen, die deiner gewünschten Bedingung entsprechen.


Geogebra kann nicht das kompensieren, was du an lückenhaften Vorleistungen zum mathematischen Modell einbringst.

Gruß Abakus

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Danke Abakus! Durch dich bin ich erst draufgekommen, dass meine Angabe natürlich völlig unvollständig ist! Meine Frage gilt einer Ellipse in 1. Hauptlage!!!!

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Ich bin zu "faul" zu suchen ... weißt du denn, wie man es von Hand zeichnerisch machen könnte? Wenn ja, dann muss man ja nur noch, das in GeoGebra nachvollziehen.

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Danke Abakus! Durch dich bin ich erst draufgekommen, dass meine Angabe natürlich völlig unvollständig ist! Meine Frage gilt einer Ellipse in 1. Hauptlage!!!!

Auch für die erste Hauptlage ist das noch sehr mehrdeutig.

Variiere die Lage der Punkte C und D in der angehängten Datei.

https://ggbm.at/1388803

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Hallo Abakus! Ich glaube, wir haben bzgl. 1. Hauptlage unterschiedliche Auffassungen! Für mich bedeutet 1. Hauptlage folgendes: Der Mittelpunkt der Ellipse liegt in (0/0), die Hauptachse der Ellipse liegt auf der x-Achse, die Nebenachse auf der y-Achse. Genau so eine Ellipse möchte ich konstruieren!

Im Anhang schick ich ein prakt. Beispiel mit. Kann man graphisch diese Aufgabenstellung überhaupt lösen??

https://ggbm.at/1388819

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Hallo Abakus! Ich glaube, wir haben bzgl. 1. Hauptlage unterschiedliche Auffassungen! Für mich bedeutet 1. Hauptlage folgendes: Der Mittelpunkt der Ellipse liegt in (0/0), die Hauptachse der Ellipse liegt auf der x-Achse, die Nebenachse auf der y-Achse. Genau so eine Ellipse möchte ich konstruieren!

Im Anhang schick ich ein prakt. Beispiel mit. Kann man graphisch diese Aufgabenstellung überhaupt lösen??


Hallo,

du hast natürlich Recht mit der ersten Hauptlage.

Meine Konstruktion ist trotzdem nutzbar:

Nimm einen beliebigen Punkt der gewünschten Tangente, konstruiere dort die Senkrechte zur Tangente und lege auf der x-Achse einen Hilfs-Brennpunkt F_1 beliebig fest. Spiegle den Strahl vom Berührpunkt zu F_1 an der Senkrechten. Der gespiegelte Strahl schneidet die x-Achse im zweiten Brennpunkt F_2

Damit liegen schon mal beide Brennpunkte auf der x-Achse, aber noch mich mittig zum Ursprung.

Die Hilfs-Ellipse mit den beiden Hilfs-Brennpunkten F_1 und F_2 durch den Berührpunkt kannst du schon mal mit dem Befehl dafür.konstruieren.

Konstruiere nun den Mittelpunkt M der beiden Hilfs-Nrennpunkte.

Dieser Mittelpunkt muss noch in den Ursprung wandern. Dazu dient eine geeignete zentrische Streckung, bei der der Schnittpunkt zwischen Tangente und x-Achse das Streckungszentrum ist.

Im Prinzip ist diese zentrische Streckung nur eine Parallelverschiebung der grünen Geraden zum Punkt M mit einer gleichzeitigen Verschiebung des blauen Strahls.

Du erhältst die richtigen Brennpunkte der richtigen Ellipse.

Dabei gibt es aber unendlich viele Lösungen, wie das Verschieben des Hilfsbrennpunkts F_1 zeigt. (Ich habe übrigens nicht deine konkrete Tangente, sondern eine beliebig verschiebbaren Tangente AB genommen).

Gruß Abakus

https://ggbm.at/1388821

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Hallo Abakus!

Dein Tipp mit der zentr. Streckung war schon mal hervorragend. Ich bekomm dann aber - wie du gesagt hast - unendl. viele Ellipsen, die die Tangente berühren. Wie schaff ich jetzt aber die eine spezielle Ellipse zu konstruieren, die genau im gegebenen Punkt P die Tangente berührt? Ich möchte eine exakte Konstruktion finden (nicht durch Verschieben von F1 "rumprobieren"), komm aber einfach nicht weiter!

https://ggbm.at/1388839

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Hallo Abakus!

Dein Tipp mit der zentr. Streckung war schon mal hervorragend. Ich bekomm dann aber - wie du gesagt hast - unendl. viele Ellipsen, die die Tangente berühren. Wie schaff ich jetzt aber die eine spezielle Ellipse zu konstruieren, die genau im gegebenen Punkt P die Tangente berührt? Ich möchte eine exakte Konstruktion finden (nicht durch Verschieben von F1 "rumprobieren"), komm aber einfach nicht weiter!

Hallo,

ich glaube dir ja gerne, dass du nur eine ganz spezielle Ellipse suchst. Es ist doch aber aus meiner Konstruktion ersichtlich, dass es mit den drei Bedingungen

- gegebene Tangentengleichung

- gegebener Punkt auf der Tangente

- erste Hauptlage

unendlich viele mögliche Ellipsen gibt!

Wenn du ausgerechnet "Deine" Ellipse willst, fehlt die Angabe einer zusätzlichen Bedingung.

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Hallo abakus, ort,


Die Aufgabe:

Bestimme die Ellipse in Mittelpunktlage (M liegt in O(0,0), die Achsen der Ellipse sind die x- bzw. y-Achse), welche in

T(x_T,y_T)

die Tangentengleichung

A x + B y = C

hat.

besitzt eine eindeutige Lösung (falls A B C != 0).

a: Hauptachse, b: Nebenachse, c: Brennweite bzw. Exzentrizität.

883fe452da91cee7470ea6a3f49bad0aFür

    T(3,4), t: x + 3y = 15

ergibt sich


    Gruß

    Gerhard

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Ich werd's auf jeden Fall mal probieren - wenn ich Zeit habe.


Also ich hatte gerade mal Zeit und habe versucht, deine Berechnung konstruktiv umzusetzen - es geht tatsächlich.

Gruß Abakus

https://ggbm.at/1388869

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Hallo abakus,


du bist offensichtlich schneller als ich.


Hier ist dann noch die Meine:

https://ggbm.at/1388871


Gerhard

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Servus Abakus, Servus gno!

Ich bin beeindruckt!!! Kaum ist man einmal ein paar Tage fort, ist das Problem schon gelöst. Die Konstruktion ist genial und eigentlich gar nicht so aufwändig. Für eine Hyperbel kann man sie auch verwenden. Also wie gesagt - ich bin beeindruckt!

Da ihr aber jetzt so richtig aufgewärmt seid, hab ich noch ein ähnlich gelagertes Problem für euch, bei dem ich mit meinen Fähigkeiten auch nicht recht weiterkomme: Gegeben ist eine Tangente und ein Punkt der Ellipse (liegt nicht auf der Tangente!). Rechnerisch ist die Sache ja nicht schwierig zu lösen - aber rein konstruktiv komm ich nicht weiter. Vielleicht habt ihr wiederum die entscheidenden Ideen!

Viele Grüße

ORT

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Rechnerisch ist die Sache ja nicht schwierig zu lösen -

Dann gib uns doch die aus den Koordinaten von P und aus der Tangentengleichung berechneten Werte von a und b. Die Konstruktion ist dann simpel.

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Hier mein spezielles Beispiel: Gegeben ist die Tangente t: x - 3y = 15 sowie ein Punkt einer Ellipse P(6/2). Diese Ellipse möchte ich konstruieren, ohne mit Schieberegler od. Ähnlichem "herumprobieren", bis dass es endlich passt!

Rechnerisch kriegt man ja leicht 2 Lösungen: 1) a²=45 b²=20 bzw.2) a²=180 b²=5

Nur wie mach ich das graphisch?

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Hier mein spezielles Beispiel: Gegeben ist die Tangente t: x - 3y = 15 sowie ein Punkt einer Ellipse P(6/2). Diese Ellipse möchte ich konstruieren, ohne mit Schieberegler od. Ähnlichem "herumprobieren", bis dass es endlich passt!

Rechnerisch kriegt man ja leicht 2 Lösungen: 1) a²=45 b²=20 bzw.2) a²=180 b²=5

Nur wie mach ich das graphisch?


Für eine Konstruktion "mit Zirkel und Lineal" nach deinem Wunsch brauchen wir doch nicht die Zahlen für a und b, sondern die beiden Terme zur Berechnung von a und b aus den Koordinaten x(P), y(P) und den Werten m und n der Tangentengleichung y=mx+n (oder ersatzweise aus den Achsenschnittpunkten der Tangente).

Kurz: WIE hast du die Werte für a und b erhalten?

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Für eine Konstruktion "mit Zirkel und Lineal" nach deinem Wunsch brauchen wir doch nicht die Zahlen für a und b, sondern die beiden Terme zur Berechnung von a und b aus den Koordinaten x(P), y(P) und den Werten m und n der Tangentengleichung y=mx+n (oder ersatzweise aus den Achsenschnittpunkten der Tangente).

Kurz: WIE hast du die Werte für a und b erhalten?

Ich hab a bzw. b rechnerisch erhalten mit Hilfe der Berührbedingung (n²=a²m²+b²) und durch Einsetzen der Punktkoordinaten in die allg. Ellipsengleichung (b²x(P)²+a²y(P)²=a²b²)

Grüße

ORT

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