Déterminer la probabilité qu'un quadrilatère inscrit au hasard dans un cercle contienne son centre

Alexandre Zumas shared this question 6 days ago
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Bonjour j'aurais aimé savoir comment faire pour déterminerla valeur exacte de la probabilité qu'un quadrilatère inscrit au hasard dans un cercle contienne le centre du cercle, merci d'avance


Illustration ci-dessous :


https://www.geogebra.org/cl...


(le point central doit être dans la zonne verte pour que la condition de probabilité soit vérifiée)

Comments (18)

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Bonjour,


j'ai un problème pour ouvrir ton fichier, est-ce bien une adresse de ressource partagée que tu as donnée ?

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Oui, je vais donner un. ggb attends

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Voici le .ggb

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Oui merci, mais de toute manière il n'amène pas grand chose


je ne sais ce que tu attends de GeoGebra pour déterminer la "valeur exacte" de la probabilité (je suis tenté de dire que c'est 1/2 puisque c'est 1/4 pour un triangle inscrit, et que ton carré tu peux le couper en 2 triangles, c'est sûrement pour cela que tu as construit le segment [EC]


une simulation, style Monte-Carlo, ne te donnera pas une valeur exacte, est-ce cela que tu voudrais ? faire construire un millier de quadrilatères et noter le nombre de true retournés par EstDansRégion(A, q1)

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J'ai déjà effectué une simulation avec geogebra (que voici en pièce jointe)


J'ai fait une approche statistique du problème en m'appuyant sur les résultats de la simulation


Et ils semble que la probabilité est de 1/3


J'aimerais une methode pour calculer ce 1/3 de manière exacte

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la verdad es que no se qué contestar

en principio diría que el primer punto es cualquiera el segundo es cualquiera y el tercero y cuarto deben estar en la misma semicircunferencia con extremo el primero en la que está el segundo o en la misma semicircunferencia con extremo el segundo en la que está el primero

es dificil dar una respuesta porque parece depender de la distancia que hay entre el primero y el segundo y a su vez de la posicion del tercero

yo creo que es un nuevo planteamiento de la paradoja de bertrand

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Une chose "m'inquiète" : précisions sur les quadrilatères ? ont-ils l'autorisation d'être croisés, aplatis, vides ?


si non, je viens de faire une simulation avec n=1000, puis n=2000 et GGb m'a donné 51,3% puis 51,7%


J'ai redéfini tes points A=(0,0) et B=(10,0)


Séquence(Polygone(Unir({{B}, Compactée((10; a°), a, Trier(Premiers(Mélangée(l2), 3 + 0i)))})), i, 1, n)

l2 = 1...359 (avec 3 points mathmagic ;-) )

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Justement, ils ont le droit d'être croisés, aplatis, etc...

Je prends la definition la plus générale d'un quadrilatère

Du coup je ne comprends pas comment arriver au résultat autrement que par l'approximation statistique


Je me suis naïvement dit que comme il y avait 1/4 de probabilité que le triangle inscrit contienne le centre, alors si on ajoute un sommet au triangle, ce dernier a 3/4 de probabilité de former un quadrilatère contenant le centre, sachant que le triangle de depart le contient déjà. (et 1/4 si le triangle de depart ne le contient pas). J'ai ensuite fais un calcul d'arbre de probabilité : 2 [(1/4) * 3/4)], ce qui nous donne 3/8...

Sauf que sur ma simulation j'obtiens plutôt 1/3... c'est exactement cela que je ne comprends pas.

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deleted because wrong

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La simulation dit :

Avec croisement : extérieur : intérieur ≈ 1:2

Sans croisement : extérieur : intérieur ≈ 1:1

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Surprenant pour moi. Et encore une fois pas selon mon intuition.

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1/1 c'est pas possible si le polygone est non croisé

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Je pourrais avoir une erreur de code.

C'est très bien possible mais tend à être peu probable.

Veuillez vérifier ma simulation.

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Pour invalider le 1/1, il suffit de trouver un contre exemple.

On peut très bien tracer un quadrilatère non croisé ne contenant pas le centre, donc à partir de là il ne peut y avoir une probabilité de 1 pour que le quadrilatère contienne le centre


Je vous invite à verifier cette simulation-ci : https://help.geogebra.org/a...

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J'ai écrit :

Quote: "Sans croisement : extérieur : intérieur ≈ 1:1"

En d'autres termes : dans la moitié des cas, le centre est à l'intérieur et dans l'autre moitié des cas, il est à l'extérieur.

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À propos : jusqu'à présent, je n'ai pas réussi à trouver dans votre simulation un mécanisme qui exclue les polygone croisés.

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Justement, je ne souhaite pas les exclure.


Car je sait déjà que pour un polygone non croisé à n sommets, la probabilité est de 1- [n \ 2^(n - 1)]

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En choisissant au hasard n points sur un cercle la probabilité que le polygone obtenu contienne le centre du cercle est 1 - n/2^(n-1). Pour n = 4 on trouve 1/2.

https://www.quora.com/If-yo...

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Malheureusement ceci est valable pour des polygones non croisés uniquement

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Un autre problème : prenons un entier naturel n supérieur ou égal à 1. On choisit au hasard 4 entiers naturels compris entre 1 et n (inclus).

1°) Quelle est la probabilité qu'on puisse construire un quadrilatère dont les longueurs des côtés sont ces entiers ?

2°) Quelle est la probabilité d'obtenir un quadrilatère inscriptible dans un cercle ?

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