Cardanische Lösungsformel

Maggie-Ness shared this question 4 months ago
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Ich habe eine Datei erstellt, um Gleichungen 3. Grades zu lösen (ohne Substitution). Nach dem Testen von einigen Beispielen hat sich folgendes herausgestellt: Wenn 3 reelle Lösungen existieren, werden diese manchmal korrekt ausgegeben. Es passiert aber auch, dass Geogebra 3 komplexe Lösungen ausgibt, was nicht sein kann. Schließlich hat jede Gleichung 3. Grades mindestens eine reelle Lösung. In allen Fällen sind u und v komplex, wie es zu erwarten ist. Bei den falschen Lösungen sind die imaginären Teile der Lösung verschieden. Das dürfte nicht sein. Wo könnte der Fehler liegen?

Comments (12)

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There are 3 potential answers for

u:=nroot( -a^3/27+a*b/6-c/2+sqrt((a^3/27-a*b/6+c/2)^2+(b/3-a^2/9)^3 ), 3 )
so I think you probably need to consider a different one

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I didn't know about the three potential answers. How can I find them? I would be very grateful if you could give me a hint.

Thanks a lot,

Maggie

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I have worked on it the whole evening and found the solution for the 3 answers in the reduced form. Next weekend I'll try to find the solution for the long form.

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But what still astonishes me is, that Geogebra Cas gave a solution, which definitely is wrong.

Is there any chance to get the right solution with Geogebra and what input should I make?

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which definitely is wrong
nroot(complex, 3) gives one of 3 possible answers - it's not a bug if it's just giving a different one than you expect


If it's something else please explain

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I understand what you mean. Is it possible to get the other 2 possible answers from Geogebra? Or is this impossible? If it is possible, with which input can I reach that?

I found the solution with pencil and paper. So if finding the other answers by Geogebra is impossible, I'll try to find an input according to my pencil-and-paper-solution. Thank you very much for your help.

Maggie

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Bedenke, dass bei der Cardanischen Lösungsformel mehrere Zwischenergebnisse herauskommen! Das rührt daher, dass beim ziehen der n-ten Wurzeln im Komplexem n Wurzeln existieren. In deiner Datei berücksichtigst du dies nicht.

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Einstweilen herzlichen Dank, Loco. Ich schaue es mir nach Möglichkeit morgen genauer an.

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Die Kombinationsmöglichkeiten von u und v hatte ich mit Bleistift und Papier berechnet, aber Ihre Lösung im CAS ist natürlich viel eleganter. Gibt es für diese Lösung für die Eingabe in den Zeilen 7 bis 10 eigene Befehle, oder muss man sich das selbst zusammensuchen? Ich tue mir manchmal etwas schwer, denn zu meiner Schulzeit (Abitur 1966) gab es noch nicht einmal Taschenrechner.

Vielen, vielen Dank, Sie haben mir sehr geholfen.

Maggie

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Ich kann das nicht mit Sicherheit sagen da ich mich mit GGb nur noch sporadisch beschäftige. Aber ich denke nicht, dass es hierfür schon eigene Befehle gibt. Ich könnte mich in diesem Fall auch nicht dafür aussprechen welche einzuführen da ich es nicht schlimm finde auf diesem Level noch vieles per Hand zu machen. In Zeile sieben und acht habe ich weiter zwei verschiedene Möglichkeiten für das selbe Resultat verwendet. Beide haben ihre Vorzüge. Schlussendlich limitiert hier nur das Verständnis und die Rechengenauigkeit von GGb welches am Ende eigentlich nur als Tool bis zur Oberstufe gedacht ist.

Für Dinge die darüber hinaus gehen habe ich noch kein wirklich Tolles und intuitives Tool/Toolset gefunden. Deshalb programmiere ich nun lieber.

Umso anerkennenswerter, dass Sie sich mit neuen Techniken auseinandersetzen.

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Meine ersten Lösungsschritte mit Bleistift und Papier habe ich 1:1 in geogebra übertragen, was funktioniert hat, aber einiges an Zeilen gekostet hat. Dabei habe ich auch einiges über komplexe Zahlen neu gelernt (bis heute zumindest in meinem Bundesland kein Oberstufenthema). Meine nächste Wochenendbeschäftigung wird die Analyse Ihrer Zeilen 7-10 sein. Dafür danke ich Ihnen sehr.

Maggie

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