A proposito del Perimetro(ellisse)

Vaglieco shared this question 5 months ago
Answered

16/05/2020

Dalla cortesia di Mister Michael Borcherds, che mi ha fornito gli opportuni link, ho potuto dedurre l’algoritmo con cui Geo calcola il perimetro di una ellisse basato sulla serie di Gaus-Kummer:

v=(1 + 1/4 h^2 + 1/64 h^4 + 1/256 h^6 +…………………..)
Una breve considerazione per la sua applicazione!


Dati due valori a>b semiassi di una ellisse e facendo

h=(a-b)/(a+b) per la serie di Gaus-Kummer si ottiene l’algoritmo finale che fornisce il perimetro dell’ellisse

p=p (a+b)v che svolto diventap=p (av+bv)


Ma considerando a’=av e b’=bv, avrò dei nuovi semi-assi di una nuova ellisse, e con la stessa regola un nuovo perimetro:

p’=p (a’+b’)v’=p (a’v’+b’v’) (per h’=(a’-b’)/(a’+b’)


da questa nuova ellisse (a”=a’v’, b”=b’v’) otterrò un altro perimetro: p”=p (a”+b“) v” (per h”=(a”-b”)/(a”+b”)

e così via!

In conclusione il perimetro di una ellisse è dato da una ellisse più grande.

Non riesco proprio a capirlo!


Mi permetto di chiedere a M. Borcherds (visto che sono su GEO e che potrebbe essere utile) di leggere:

I°) ELLISSI E CERCHIO CORRISPONDENTE.ggb e poi


II°) PERIMETRO ELLISSE CALCOLATO CON APPLET.ggb


Grazie M. Vaglieco

Comments (8)

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Sorry, I'm not sure what you are asking. What is your overall goal exactly?

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Se le mie considerazioni sono giuste, Geo potrebbe adottare il mio algoritmo, a vantaggio di tutti.

M.Vaglieco

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What's wrong with the current algorithm? Is there a particular example that's wrong?

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p(a+b) è già un perimetro! Inoltre:

a) Non tiene conto della corrispondenza biunivoca tra Ellisse e Circonferenza; come dimostrato dal teorema geometrico “Il Teorema dei Pianeti”.

b) Non è possibile calcolare gli archi di ellisse.

Il mio è un suggerimento; per questo ho fatto i due applet (indicati sopra) per una comparazione tra i valori dei due algoritmi, con i relativi riferimenti matematici.

Tu sei un matematico: compara e decidi!

Ciao. M Vaglieco

For You:

Point A it is nearest to point B : https://www.geogebra.org/m/kygxutj7

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Sorry, I don't see the point of your applet. Please give a simple example where you think the perimeter is wrong

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«Se prendo un anello (di metallo ad esempio) e lo stringo su due poli, l’anello si allarga assumendo la forma di una ellisse e più stringo più si allarga e notiamo che l’area originale della circonferenza tende a zero se continuiamo a stringere, mentre il suo perimetro rimane sempre uguale a quello dell’anello iniziale».


La soluzione è data dal teorema di Geometria: “Teorema dei Pianeti” che fornisce la corrispondenza biunivoca tra circonferenza ed ellisse. Vediamo quello che ho scritto io in:

APPLET: “ELLISSI E CERCHIO CORRISPONDENTI”. Ecco cosa indica alla sola apertura:

I) a destra è indicato il perimetro non dell’ellisse ma della circonferenza uguale per i tre casi:

P.G-K=P.GEO=P.Vag=188.496.

Spostando slider Varia a zero si avrà una serie di ellissi che partono dalla circonferenza iniziale (come indicato dall’esempio empirico) fino a quello cercato (Rosso continuo):

P.G-K=P.GEO=217.41 ma P.Vag=188.496.

di tutti gli ellissi solo P.Vag rimane fisso e uguale al perimetro dell’anello.

II) Se ripetiamo il tutto ponendo il semi-asse b=0 e lasciando il semi-asse a=53 avremo ancora il perimetro del cerchio uguale per tutti e tre (come nel caso I)):

P.G-K=P.GEO=P.Vag= 166.504

Muovendo lo slider Varia avrò una ripetizione del punto I) e infine per Varia=0 l’ellisse cercata sarà data da un segmento AF=a=53 (ripetuto 4 volte) che rappresenta il perimetro della ellisse, ma la sua lunghezza non potrà mai superare il perimetro del cerchio di partenza, per la premessa fatta:

i perimetri P.G-K=211.383 P.GEO=211.473 sono fuori

mentre P.Vag=2Rp=2*26.5*p=(a+b)p=166.504 costante.


Di aiuto può essere [Legenda formule].

Dalla proprietà del “Teorema dei Pianeti” e dall’analisi dei dati qui indicati ricavo la quadratura e l’algoritmo per il calcolo degli archi di ellisse, diversi dagli archi della circonferenza.

Spero di essere stato chiaro e convincente in questa spiegazione!

M.Vaglieco

PS. Qui mascherina e guanti per Covid-19. Ciao!

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Sorry, I don't understand. Maybe you can give

  • the equation of the ellipse
  • correct perimeter
  • GeoGebra's value for perimeter

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OBBEDISCO!

Metto un allegato perché qui non so come posso scrivere in LaTex.

M.Vaglieco

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