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[Jeu] Petit problème

Sardem FF7 shared this question 11 years ago
Answered

Bonjour à tous, matheuses et matheux !


Je cherche depuis un moment la solution à un problème :


Soit une droite et un point M sur cette droite.

Soient trois points A, B et C.


Soient trois cercles Ca, Cb et Cc de centres respectifs A, B et C, passant tous trois par M.

Soient Gab, Gac et Gbc les intersections (différentes de M) des cercles Ca et Cb, Ca et Cc, Cb et Cc, respectivement.


Soit G l'isobarycentre de Gab, Gac et Gbc.


Quelles est l'équation de Gm, le lieu décrit par G en fonction de M.


(Ci-joint le fichier construit.)


Si vous trouvez, c'est formidable, parce que j'ai perdu l'espoir là !


Bon "jeu" à tous :smiley_cat:

https://ggbm.at/540973

https://ggbm.at/540975

Comments (13)

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Bonjour,

Joli !

Déjà, contrairement aux apparences cela ne semble pas être une droite :


    D=Point[G_M]

    Droite[D,G]


Quand on fait varier D sur le lieu, l'équation de (GD) change.

Michel


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Bien vu...

Et même on peut voir plus loin, c'est loin d'être une figure connue si l'on en croit ce que calcule GeoGebra. (cf. images jointes)


Probleme1_t


Probleme2_t

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et pourtant.... si on demande l'équation de (DG) sous la forme y=ax+b et bien on a alors des coefficients a et b quasi constants il faut aller très loin dans les arrondis donc.....

Je ne sais pas si ça simplifie mais j'ai envie d'utiliser les images de G par les réflexions d'axes (AB), (BC) et (CA) et jouer avec ou l'inversion de centre M ou carrément analytiquement mais avec XY : y=0

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J'ai déposé un deuxième fichier, avec XY : y=0 (et de loin) mais chez moi je ne vois plus le lieu, tant pis.


Analytiquement j'avais tenté quelque choses avec les vecteurs niveau définition du barycentre, mais j'ai abandonné en cours de route, c'était très très long. Je devrais peut-être réessayer. :)

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cas particulier, certes mais ...

A=(2,1)

B=(0,1)

C=(0,-1)

M=(x,0)

par réflexion d'axe (AB) : I=(x,2)

(BC) : J=(-x,0)

(CA) : K=(1,x-1)

isobarycentre G=(1/3,(x+1)/3) donc le lieu est une droite dans ce cas...

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Si ça peut servir : dans le cas général, sauf erreur :

M sur la droite (d)

I, J et K symétriques de M par rapport respectivement à (AB), (BC) et (AC)

donc on passe :

- de I à j par la composée de réflexion d'axes (AB) puis (BC) donc par la rotation r_1 de centre B et d'angle 2angle(ABC)

- de I à K par la composée de réflexion d'axes (AB) puis (AC) donc par la rotation r_2 de centre A et d'angle 2angle(BAC)

avec notations complexes : I(z), J(az+b) et K(a'z+b')

isobarycentre G((1+a+a')/3z+(b+b')/3) donc on passe de I à G par transf de la forme Az+B donc rotation (si...)

Donc M décrit une droite, son image I par réflex d'axe (AB) aussi composée avec la rotation qui transforme I en G dit que G décrit alors une droite.

Pour les caractéristiques, voir l'écriture complexe.

Michel

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Bonjour,


J'ai construit un outil "G=Bidule[A,B,C,M]

M est un point libre pour construire l'outil, M_1, M_2 et M_3 trois points sur une droite (A,B)


Premières remarques :

1) Les rapport de colinéarité des images ont l'air égaux à ceux des antécédents : la remarque sur le lieu qui ne serait pas sur une droite est peu être faussée par l'algorithme de tracé des lieux.

2) Il existe 1 point invariant dans le plan (M=G) (j'ai placé M pas loin de ce point)

https://ggbm.at/540977

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... de la forme Az+B donc rotation ...

tout le monde aura corrigé en remplaçant rotation par similitude : pardon.

Pour la nature du lieu, cela ne change pas.

Michel

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... de la forme Az+B donc rotation ...

tout le monde aura corrigé en remplaçant rotation par similitude : pardon.

Pour la nature du lieu, cela ne change pas dans la démonstration qui prouve que c'est une droite

Michel

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troisième remarque :

ça a l'air d'inverser les angles

https://ggbm.at/540979

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autrement dit : dans le cas général, sauf erreur :

M sur la droite (d)

I, J et K symétriques de M par rapport respectivement à (AB), (BC) et (AC)

donc on passe :

- de I à j par la composée de réflexion d'axes (AB) puis (BC) donc par la rotation r_1 de centre B et d'angle 2angle(ABC)

- de I à K par la composée de réflexion d'axes (AB) puis (AC) donc par la rotation r_2 de centre A et d'angle 2angle(BAC)

avec notations complexes : I(z), J(az+b) et K(a'z+b')

isobarycentre G((1+a+a')/3z+(b+b')/3) donc on passe de I à G par transf de la forme Az+B donc une similitude si ce n'est pas constant (1+a+b=0 )

M décrit une droite, son image I par réflexion d'axe (AB) aussi.

Dans le cas où le lieu n'est pas réduit à un point (possible ?)

Cette réflexion composée avec la similitude qui transforme I en G confirme que G décrit alors une droite (image d'une droite par une similitude). Sauf erreur de ma part.

Pour les caractéristiques, voir l'écriture complexe.

Michel

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Avec le fichier ggb

M transformé en I par réflexion d'axe (AB)

la similitude qui transforme I en M" est associée à AA z +BB, de centre ω

on peut comparer que l'isobarycentre G de IJK est confondu avec M" comme je l'ai montré au dessus.

Michel

https://ggbm.at/540981

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Bonjour,

...donc une similitude si ce n'est pas constant (1+a+b=0 )

...

Pour aller jusqu'au bout :

Z=1+a+b=1+e^(i 2α)+e^(i 2β)=1+cos(2α)+cos(2β)+i(sin(2α)+sin(2β))

Im(Z)=0 ssi sin(2α)+sin(2β)=0 ssi sin(2α)=sin(-2β) ssi


cas 1 : 2α=-2β+k2pi ssi α=-β+kpi et donc 1+cos(2α)+cos(2β)=1+2cos(2β) et Ré(Z)=0 ssi cos(2β)=-1/2 ssi 2β=2pi/3+k2pi ou 2β=-2pi/3+k2pi ssi β=pi/3+kpi ou β=-pi/3+kpi

donc pour cas 1

β=pi/3+kpi et α=-pi/3+kpi ssi

β=pi/3 et α=-pi/3 ( α=2pi/3 impossible pour des angles d'un triangle : somme de deux angles géométriques du triangle doit être inférieure ou égale à pi et dans le cas d'égalité, le triangle doit être plat !)

ou

β=-pi/3+kpi et α=pi/3+kpi ssi

β=-pi/3 et α=pi/3 ( α=-2pi/3 impossible pour des angles d'un triangle : somme de deux angles géométriques du triangle doit être inférieure ou égale à pi et dans le cas d'égalité, le triangle doit être plat !)


ou


cas 2 : 2α=pi+2β+k2pi ssi α=pi/2+β+kpi et donc 1+cos(2α)+cos(2β)=1-cos(2β)+cos(2β)=1

donc ne conduit pas à Z=0


Conclusion : le lieu cherché est toujours une droite sauf si ABC est équilatéral où le lieu est réduit à un point (isobarycentre de ABC). Voir le fichier forum.ggb pour, par exemple :

    A=2 e^(i 0)

    B =2 e^(i 2 pi/3)

    C=2 e^(-i 2 pi/3)

Sauf erreur.

Michel

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